Bài 29. Hệ số góc của đường thẳng Toán 8 kết nối tri thức

HĐ 1

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ hai đường thẳng sau:

(d): y=2x+1 và (d'): y=−2x+1

a) So sánh góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox với 90°

b) So sánh góc tạo bởi đường thẳng (d') và trục Ox với 90°

Phương pháp giải:

Xác định hai điểm thuộc đường thẳng d và d’ để vẽ hai đường thẳng d và d’ trong mặt phẳng tọa độ.

Từ hình vẽ đồ thị hàm số d và d’ so sánh với góc 90^o

Lời giải chi tiết:

Xét (d): y=2x+1:

Cho y=0 thì $x=\frac{-1}{2}$, ta được giao điểm của đồ thị với trục Ox là A($\frac{-1}{2};0$)

       x=0 thì y=1, ta được giao điểm của đồ thị với trục Oy là B(0;1)

 Xét (d'): y=−2x+1: 

Cho y=0 thì $x=\frac{1}{2}$, ta được giao điểm của đồ thị với trục Ox là $C\left(\frac{1}{2};0\right)$

       x=0 thì y=1, ta được giao điểm của đồ thị với trục Oy là B(0;1)

HĐ 2

Từ kết quả của hoạt động 1, em có nhận xét gì về quan hệ giữa hệ số a của đường thẳng y=ax+b (a≠0) với góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ từ hoạt động 1

Lời giải chi tiết:

Khi hệ số góc a dương thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc nhọn
Khi hệ số góc a âm thì góc tạo bởi đường thẳng này và trục Ox là góc tù.

CH

Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau:

$y=3x-1$; $y=2-x$; $y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)$

Phương pháp giải:

Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ là a

Lời giải chi tiết:

Hệ số góc của đường thẳng $y=3x-1$ là a = 3.

Hệ số góc của đường thẳng $y=2-x$ là a = -1

Hệ số góc của đường thẳng $y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ là $a=\frac{1}{2}$

LT 1

Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng có hệ số góc là 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1

Phương pháp giải:

Xác định a , b của hàm số bậc nhất $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$

Lời giải chi tiết:

Hàm số có hệ số góc bằng 3 nên hàm số bậc nhất cần tìm là: y = 3x + b

Vì đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 nên ta thay điểm (0; -1) vào công thức hàm số y = 3x + b ta được: b = -1

Vậy hàm số bậc nhất đó là: y=3x−1

TL

Đường thẳng $y=\frac{2x+1}{2}$ có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Tròn: Đường thẳng này có hệ số góc a = 2

Vuông: Không đúng, đường thẳng này có hệ số góc a = 1

Theo em, bạn nào trả lời đúng, bạn nào trả lời sai? Vì sao?

Phương pháp giải:

Biến đổi hàm số $y=\frac{2x+1}{2}=\frac{2x}{2}+\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}$ từ đó xác định được hệ số góc và tìm ra được bạn nào đúng, bạn nào sai.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y=\frac{2x+1}{2}=\frac{2x}{2}+\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}$

Hệ số góc của đường thẳng $y=\frac{2x+1}{2}$ là $a=1$.

Như vậy bạn tròn sai và bạn vuông đúng.              

HĐ 3

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ hai đường thẳng y=2x và y=2x+1. Có nhận xét gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng này?

Phương pháp giải:

Xác định hai điểm thuộc đường thẳng y = 2x và hai điểm thuộc đường thẳng y = -2x + 1.

Quan sát vị trí tương đối của hai đường thẳng đó

Lời giải chi tiết:

* Xét đường thẳng y = 2x

Cho x = 0 suy ra y = 2.0 = 0 nên điểm (0; 0) thuộc đường thẳng y = 2x

Cho x = 1 suy ra y = 2 nên điểm (1; 2) thuộc đường thẳng y = 2x

Đường thẳng y = 2x đi qua 2 điểm (0;0) và (1;2)

* Xét đường thẳng y = 2x + 1

Cho x = 0 suy ra y = 2.0 + 1= 1 nên điểm (0; 1) thuộc đường thẳng y = 2x + 1

Cho $x=\frac{-1}{2}$ suy ra $y=2.\left(\frac{-1}{2}\right)+1=0$ nên điểm $\left(\frac{-1}{2};0\right)$ thuộc đường thẳng y = 2x + 1

Đường thẳng $y=2x+1$ đi qua 2 điểm $\left(\frac{-1}{2};0\right)$ và $(0;1)$

CH

Tìm các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

a) y = 2x + 1;

b) y = -1 - 2x;

c) y = 2 + 2x;

d) y = -1 + 2x.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng y = ax + b (a $\ne$ 0) và y = a'x + b' (a' $\ne$ 0) song song với nhau khi a = a', b $\ne$ b' và ngược lại.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng 

a) y = 2x + 1 và c) y = 2 + 2x song song với nhau vì có a = a' = 2, b $\ne$ b' (1 $\ne$ 2)

a) y = 2x + 1 và d) y = -1 + 2x song song với nhau vì có a = a' = 2, b $\ne$ b' (1 $\ne$ -1)

c) y = 2 + 2x và d) y = -1 + 2x song song với nhau vì có a = a' = 2, b $\ne$ b' (2 $\ne$ -1)

HĐ 4

Cho hai đường thẳng $y=2x-1$ và $y=x-3$. Bằng cách so sánh hai hệ số góc, hãy cho biết hai  đường thẳng này có song song hay trùng nhau không?

Phương pháp giải:

Xác định hệ số góc của hai đường thẳng đã cho và so sánh.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $y=2x-1$ có hệ số góc $a=2$ và đường thẳng $y=x–3$ có hệ số góc $a^{\prime }=1$

Vì a≠a′ nên hai đường thẳng này không song song và không trùng nhau.

LT 2

Cho hai hàm số bậc nhất $y=2mx+1$ và $y=(m-1)x+2$. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau

b) Hai đường thẳng cắt nhau 

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng $y=ax+b(a\ne 0)$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }\left(a^{\prime }\ne 0\right)$ song song với nhau khi a = a’; cắt nhau khi $a\ne a^{\prime }$.

Lời giải chi tiết:

a) Hai đường thẳng song song khi a=a′ nên 2m=m−1. Suy ra: m=−1

b) Hai đường thẳng cắt nhau khi a≠a′ nên 2m≠m−1. Suy ra: m≠−1

TTN

Liệu hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc, có thể có

a) Cùng giao điểm với trục Ox không?

b) Cùng giao điểm với trục Oy không?

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc nên hai đường thẳng đó song song với nhau

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng phân biệt có cùng hệ số góc nên hai đường thẳng đó song song với nhau. Vậy hai đường thẳng đó không có cùng giao điểm với trục Ox, Oy được.

VD

Vuông: Làm thế nào để biết hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ song song hay cắt nhau nhỉ?

Tròn: Cứ vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy là biết ngay mà.

Pi: Anh có một cách nhanh hơn nhiều mà không cần vẽ hình. Trong bài học này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu nhé.

Em hãy trình bày cách làm của Pi để trả lời câu hỏi của bạn Vuông

Phương pháp giải:

Dựa vào hệ số góc để xem khi nào hai đường thẳng cắt nhau; hai đường thẳng song song

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ có $a=a^{\prime }$; $b\ne b^{\prime }$ thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ có $a\ne a^{\prime }$ thì hai đường thẳng đó cắt nhau.