Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác Toán 8 kết nối tri thức

HĐ1

Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có

a) Nếu A′B=AB thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Nếu A′B < AB như hình 9.11. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho AM = A'B'. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC và cắt AC tại N.

- Hãy giải thích vì sao ΔAMN ∽ ΔABC

- Hãy chứng tỏ rằng AN=A’C’; MN=B′C′ 

Suy ra ΔAMN = ΔA'B'C' (c.c.c)

- Hai tam giác A'B'C' và ABC có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng.

c) Nếu A'B' > AB thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng hai tam giác đồng dạng để chứng minh các yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a)  Nếu A′B′=AB thì tam giác có đồng dạng.

Vì A′B′=AB nên

Suy ra A’C’=AC và B’C’=BC 

Suy ra (c.c.c)

Suy ra

Do đó, hai tam giác đồng dạng

b) Vì MN // BC ( M∈AB, N∈AC) nên ΔAMN ∽ ΔABC 

Suy ra

Mà

nên

Vì AM= A’B’ nên A’C’=AN; B’C’=MN 

Suy ra  ΔAMN = ΔA'B'C' (c.c.c)

Suy ra  ΔAMN ∽ ΔA'B'C' 

Mà ΔAMN ∽ ΔABC 

=> ΔABC ∽ ΔA′B′C′ 

c) Nếu A'B' > AB thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC. Vì

CH

Những cặp tam giác nào dưới đây (hình 9.13) là đồng dạng? (các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Phương pháp giải:

Tính tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Các cặp tam giác đồng dạng là:

LT1

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27cm. Biết rằng AB=4cm, BC=6cm, DE=6cm, FD=12cm. Chứng minh  ΔABC ∽ ΔDEF

Phương pháp giải:

Chứng minh : từ đó suy ra: ΔABC ∽ ΔDEF

Lời giải chi tiết:

Vì chu vi tam giác ABC bằng 18cm

nên AB+AC+BC=18

hay 4+AC+6=18

Suy ra: AC=8 (cm)

Vì chu vi tam giác DEF bằng 27cm

nên DE+EF+DF=27

hay 6+EF+12=27

Suy ra: EF=9 (cm)

Ta thấy

Suy ra: ΔABC ∽ ΔDEF (c.c.c)

VD

Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.

Phương pháp giải:

Vẽ tam giác dựa vào tỉ lệ của độ rộng khung thành và khoảng cách của trái bóng với hai cột gôn.

Lời giải chi tiết:

Ta có tỉ lệ của độ rộng khung thành và khoảng cách hai cột gôn là: 7,32 : 10,98 : 14,64 = 2 : 3 : 4 nên độ dài cạnh của tam giác vẽ theo tỉ lệ 2 : 3 : 4.

Sử dụng thước đo góc, ta được hay góc sút bằng khoảng .

HĐ2

Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng $\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}={60}^0$

- So sánh các tỉ số $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}{;}^{}\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$

- Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B'C' và tính tỉ số

- Theo em, tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 9.15 để tính tỉ số các đoạn thẳng

Lời giải chi tiết:

- Có

- Có

- Tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC và đồng dạng với tỉ số

CH

Những cặp tam giác nào trong hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Phương pháp giải:

Qua sát hình 9. 17 và định lí trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh để tìm các cặp tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết:

Các cặp tam giác đồng dạng:

LT2

Cho ΔA'B'C' ∽ ΔABC. Trên tia đối của các tia CB, C'B' lần lượt lấy các điểm M, M' sao cho . Chứng minh rằng  ΔA'B'M' ∽ ΔABM

Phương pháp giải:

Áp đụng định lí trường hợp đồng dạng canh – góc – cạnh để chứng minh

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Vì ΔA'B'C' ∽ ΔABC suy ra:

Từ (1) và (2) suy ra:

Xét tam giác ABM và tam giác A”B”M’ có:

Suy ra

TL

Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có và thì chúng đồng dạng. Theo em bạn Lan nhận xét đúng không vì sao?

Gợi ý. Khi góc ACB tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho cân (H.9.19) rồi xét xem trong hai tam giác ABC và ABM, tam giác nào đồng dạng với tam giác A'B'C'.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí trường hợp đồng dạng cạnh -  góc – cạnh

Lời giải chi tiết:

Khi góc ACB là góc tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho tam giác AMC cân tại A nên AM = AC

Khi đó

Như vậy nhận xét của Lan không chính xác.

HĐ3

Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm A bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm C bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí B sao cho AB=10m, $\widehat{ABC}={70}^o{,}^{}\widehat{BAC}={80}^o$ và vẽ một tam giác A'B'C' trên giấy với A′B′=2cm, (H.9.20b)

Em hãy dự đoán xem tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu

Phương pháp giải:

Quan sát hình 9.20 để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Đổi 10m = 1000cm

Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng

HĐ4

Nếu ΔABC ∽ ΔA′B′C′ và anh Pi đo được A′C′=3,76cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét? 

Phương pháp giải:

Dựa vào tỉ số đồng dạng của hai tam giác, tính khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ.

Lời giải chi tiết:

Có ΔA'B'C' ∽ ΔABC với tỉ số đồng dạng là

mà A′C′=3,76 (m) => AC=18,8 (m)

Khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là 18,8 m.

CH

Những cặp tam giác nào trong hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng

Phương pháp giải:

Quan sát hình 9.22 và vận dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác MPN có:

Các cặp tam giác đồng dạng trong hình 9.22 là:

LT3

Cho các điểm A, B, C, D như Hình 9.24. Biết rằng . Hãy chứng minh ΔABC ∽ ΔADB  và

Phương pháp giải:

Chứng minh ΔABC ∽ ΔADB (g.g) suy ra tỉ số đồng dạng

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC và tam giác ADB có 

 và  chung

=> ΔABC ∽ ΔADB (g.g)

=>

=>

TTN

1. Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I, ba đường phân giác của tam giác A'B'C' đồng quy tại I'. Hãy chứng tỏ rằng nếu và thì .

2. Với  hai tam giác ABC và A'B'C' trong phần Tranh luận, nếu thêm giả thiết các góc C và C' nhọn thì hai tam giác đó có đồng dạng không?

Phương pháp giải:

1. Chứng minh tam giác ABC và tam giác A'B'C' đồng dạng theo trường hợp góc - góc.

2. Tương tự như phần Tranh luận, lấy điểm M trên tia BC sao cho . Giả sử điểm C không trùng với M và chứng minh điều đó là vô lý => Điểm C phải trùng với M và 

Lời giải chi tiết:

1. Do tổng các góc trong một tam giác bằng nên:

Suy ra . Do đó

Tương tự, . Vậy và có: . Do đó (g.g).

2. Nếu góc C và C' đều nhọn: Lấy điểm trên tia sao cho . Giả sử điểm không trùng với . Khi đó: và nên và kéo theo , hay cân tại .

+) Nếu nằm giữa và thì

và ta nhận được điều vô lí.

+) Vậy ở giữa và (như hình 9.19). Khi đó

và ta nhận được điều vô lí.

Vậy điểm phải trùng với và .