Bài 35. Định lí Pythagore và ứng dụng Toán 8 kết nối tri thức

HĐ 1

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB=3cm,AC=4cm (H.9.31). Hãy đo độ dài cạnh BC và so sánh hai đại lượng $A{B}^2+A{C}^2$ với $B{C}^2$

Phương pháp giải:

Thay các giá trị AB=3cm, AC=4cm vào $A{B}^2+A{C}^2$ với $B{C}^2$

Lời giải chi tiết:

- Đo độ dài có BC=5cm

- Có $A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25$

với $B{C}^2=5^2=25$

=>$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

HĐ 2

Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau. Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của các tam giác vuông này. Cắt một hình vuông bằng tấm bìa có cạnh dài a+b. Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.32

- Dùng ê ke kiểm tra phần bìa không bị che lấp có phải là hình vuông cạnh bằng c không. Từ đó tính diện tích phần bìa này theo c

- Tổng diện tích bốn tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông a, b là bao nhiêu?

- Diện tịch cả tấm bìa hình vuông cạnh a+ b bằng bao nhiêu?

- So sánh $c^2+2ab$ với ${\left(a+b\right)}^2$để rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai đại lượng $c^2$ và $a^2+b^2$.

Phương pháp giải:

- Tính diện tích tấm bìa của hình vuông.

- Tính diện tích phần bìa bị che lấp là hình vuông cạnh c.

Lời giải chi tiết:

Phần bìa bị che lấp là hình vuông cạnh c. Diện tích của hình vuông là: $c^2$

- Diện tích tấm bìa hình vuông là:

=> Diện tích bốn tam giác vuông là:

CH

Tìm độ dài x, y trong hình 9.35

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pythagore

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Ta có:

LT 1

Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C như Hình 9.35. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pythagore

Lời giải chi tiết:

Từ A kẻ AM sao cho AM ⊥ MB

Tử C kẻ CM sao cho CN ⊥ NB

Từ C kẻ EC sao cho EC ⊥ EA

- Xét ΔAMB có AM ⊥ MB 

=> ΔAMB là tam giác vuông

=> 

=>

=>  cm

- Xét ΔBNC có CN ⊥ NB

=> ΔBNC là tam giác vuông tại N

=>

=>

=> cm

- Xét ΔAEC có EC ⊥ EA

=> ΔAEC là tam giác vuông tại E

=>

=>

=> cm

VD 1

Em hãy giải bài toán mở đầu:

Bạn Lan vẽ một hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 1; 3 (đơn vị độ dài). Sau đó Lan đặt lên trục số đoạn OM có độ dài bằng độ dài của đường chéo hình chữ nhật vừa vẽ (trục số nằm ngang và M nằm bên phải gốc O). Hỏi điểm M biểu diễn số thực nào? Biết rằng đơn vị độ dài trên trục số và đơn vị độ dài đo kích thước hình chữ nhật là như nhau.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC vuông tại A

Lời giải chi tiết:

- Nếu điểm M biểu diễn cho số thực x thì đoạn thẳng OM có độ dài là x (đvđd).
– Đoạn thẳng OM là cạnh huyền của một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là hai cạnh của hình chữ nhật. Do đó, áp dụng định lý Pythagore cho tam giác này, ta được: . Suy ra x=.

LT 2

Cho tam giác vuông với kích thước như Hình 9.37. Hãy tính độ dài x và cho biết những tam giác nào đồng dạng, viết đúng kí hiệu đồng dạng 

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC vuông tại A để tính x

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta ABC$ ta có:

$x=AB=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=5$

Những tam giác đồng dạng là 

- Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là 1 $\left(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{DF}=1\right)$

- Tam giác MPN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ $\left(\frac{MP}{AB}=\frac{MN}{AC}=\frac{2,5}{5}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\right)$

- Tam giác MPN đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ (do tam giác MPN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ và tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là 1 nên tam giác MPN đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là  )

VD 2

Để đón được một người khách, một xe taxi xuất phát từ vị trí điểm A, chạy dọc một con phố dài 3km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái, chạy được 3km đến điểm C thì tài xế cho xe rẽ vuông góc sang phải, chạy 1km nữa thì gặp người khách tại điểm D (H.9.38). Hỏi lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khác là bao nhiêu kilômét.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AMD vuông tại M

Lời giải chi tiết:

Ta có: BC=AM=3km

     AB=CM=3km

=> MD=CM+CD=3+1=4(km)

Xét tam giác AMD vuông tại M

=>

=>

=> AD=5

Vậy lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là 5km

CH

Cho hình 9.42, trong đó các đoạn thẳng AC, AD, AE đoạn nào có độ dài lớn nhất, đoạn nào có độ dài nhỏ nhất?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pythagore trong các tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H có: (1)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H có: (2)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHE vuông tại H có: (3)

Vì HE > HC > HD suy ra (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

Vậy đoạn AE là lớn nhất, đoạn AD là nhỏ nhất.

LT 3

Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông: "Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau”.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí Pythagore trong hai tam giác vuông để suy ra cặp cạnh bằng nhau

Lời giải chi tiết:

- Xét tam giác ABC vuông tại A, có

(1)

- Xét tam giác A'B'C' vuông tại A' có:

 (2)

mà AB=A’B’, BC=B’C’ (3)

=> Từ (1), (2), (3): AC= A’C’

=> Hai tam giác bằng nhau

TTN

Tính chiều cao theo đơn vị centimét của một tam giác đều cạnh 2cm (h.9.44) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Phương pháp giải:

Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên H là trung điểm của BC.

Áp đụng định lí Pythagore trong tam giác AHC suy ra độ dài của chiều cao

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên H là trung điểm của BC suy ra

(cm)

Áp đụng định lí Pythagore trong tam giác AHC ta có:

Vậy chiều cao của tam giác đều là 1, 73 cm