Bài tập cuối chương II

Giải Bài 2.53 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm x {50; 108, 189, 1234; 2 019; 2 020} sao cho:

a) x – 12 chia hết cho 2;

b) x – 27 chia hết cho 3;

c) x + 20 chia hết cho 5;

d) x + 36 chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

a) (x – 12) 2

Mà 12 2 nên x 2

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 50, 108, 1 234, 2 020.

b) (x – 27) 3;

Mà 27 3 nên x 3

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 108, 189, 2 019.

c) (x + 20) 5;

Mà 20 5 nên x 5

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 50, 2 020.

d) (x + 36) 9

Mà 36 9 nên x 9

Vậy giá trị của x thỏa mãn là 108, 189.

Giải Bài 2.54 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Thực hiện phép tính sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:

a) 14² + 5² + 2²;

b) 400 : 5 + 40

Lời giải chi tiết

a) 14² + 5² + 2² = 196 + 25 + 4 = 225 = 3².5²

b) 400 : 5 + 40 = 80 + 40 = 120 = 2³.3.5

Giải Bài 2.55 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Tìm ƯCLN và BCNN của:

a) 21 và 98;

b) 36 và 54.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: 21 = 3.7;  98 = 2.7²

=> ƯCLN(21, 98) = 7 ; BCNN(21, 98) = 2.3.7² = 294

b) Ta có: 36 = 2².3², 54 = 2.3³

ƯCLN(36, 54) = 2.3² = 18; BCNN(36, 54) = 2².3³ = 108.

Giải Bài 2.56 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

a) ;          

b) .

Lời giải chi tiết

Ta có 27 = 3³; 123 = 3.41

=> ƯCLN(27, 123) = 3 nên phân số đã cho chưa tối giản.

Suy ra: .

b) Ta có: 33 = 3.11; 77 = 7.11

=> ƯCLN(33, 77) = 11 nên phân số đã cho chưa tối giản

Suy ra: .

trithuchub.com

Giải Bài 2.57 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Thực hiện phép tính:

a)         b)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: nên nên chọn mẫu số chung là 48

b) Ta có: nên nên chọn mẫu chung là 45.

Giải Bài 2.58 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Có 12 quả cam, 18 quả xoài và 30 quả bơ. Mẹ muốn Mai chia đều mỗi loại quả đó vào các túi quà sao cho mỗi túi đều có cả cam, xoài và bơ. Hỏi Mai có thể chia được nhiều nhất là mấy túi quả?

Lời giải chi tiết

Vì mẹ muốn Mai chia đều mỗi loại quả đó vào các túi quà sao cho mỗi túi đều có cả cam, xoài và bơ nên số túi là ƯC(12, 18, 30). Do đó số túi quà nhiều nhất mà Mai có thể chia được là ƯCLN(12, 18, 30)

Ta có: 12 = 2².3;  18 = 2.3²;  30 = 2.3.5

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, của 3 là 1

Suy ra ƯCLN(12, 18, 30) = 2.3 = 6

Vậy Mai có thể chia được nhiều nhất 6 túi quà.

Giải Bài 2.59 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Bác Nam định kì 3 tháng một lần thay dầu, 6 tháng một lần xoay lốp xe ô tô của mình. Hỏi nếu bác ấy làm hai việc đó cùng lúc vào tháng 4 năm nay, thì lần gần nhất tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng nào?

Lời giải chi tiết

Số tháng ít nhất tiếp theo mà bác Nam làm hai việc đó cùng một tháng là BCNN(3, 6)

Mà 63 nên BCNN(3, 6)= 6.

Do đó sau 6 tháng nữa bác sẽ làm hai việc cùng một tháng.

Vậy nếu bác ấy làm hai việc đó cùng lúc vào tháng 4 năm nay, thì gần nhất lần tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng 10.

trithuchub.com

Giải Bài 2.60 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Biết rằng 79 và 97 là hai số nguyên tố. Hãy tìm ƯCLN và BCNN của hai số này.

Lời giải chi tiết

Vì 79 và 97 là hai số nguyên tố nên:

 ƯCLN(79, 97) = 1

 BCNN(79, 97) = 79.97 = 7 663

trithuchub.com

Giải Bài 2.61 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

Biết hai số 3^a. 5² và 3³.5^b có ƯCLN là 3³.5²  và BCNN là 3⁴ .5³. Tìm a và b.

Lời giải chi tiết

Ta có: ƯCLN.BCNN = 3³.5².3⁴.5³ = 3⁷.5⁵

Tích hai số đã cho là: 3^a. 5². 3³.5^b = 3^a+3.5^2+b

Vì tích hai số cần tìm bằng tích của ƯCLN và BCNN nên 3^a+3.5^2+b = 3⁷.5⁵

Do đó: a + 3 = 7 và b + 2 = 5 nên a = 4 và b = 3. 

trithuchub.com

Giải Bài 2.62 trang 56 SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1

Đề bài

 Bác kia chăn vịt khác thường

Buộc đi cho được chẵn hàng mới ra

Hàng 2 xếp thấy chưa vừa

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con

Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn

Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy

Xếp thành hàng 7, đẹp thay

Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài.

(Biết số vịt chưa đến 200 con).

 

Lời giải chi tiết

Gọi số vịt là x ().

Vì hàng 5 xếp thiếu 1 con nên x chia 5 dư 4=> x có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9.

Vì hàng 2, hàng 4 không xếp được, do đó x không chia hết được cho 2 và cho 4 .

=> x có chữ số tận cùng là 9.

Vì số vịt xếp được thành 7 hàng nên x7.

Do đó x ∈ B(7), x có chữ số tận cùng là 9 và x < 200, nên x ∈ {49; 119; 189}.

Mà x chia cho 3 dư 1 nên x = 49.

Vậy có 49 con vịt.

trithuchub.com

Lý thuyết bài tập cuối chương II

1. Quan hệ chia hết

Khi nào thì a chia hết cho b?

Cho hai số tự nhiên và trong đó nếu có số tự nhiên sao cho thì ta nói chia hết cho và ta có phép chia hết , kí hiệu là .

Ước và bội

a. Định nghĩa

- Nếu có số tự nhiên   chia hết cho số tự nhiên   thì ta nói   là bội của còn là ước của

b. Cách tìm bội

- Ta có thể tìm các bội của một số khác bằng cách  nhân  số đó lần lượt với

c. Cách tìm ước

- Ta có thể tìm các ước của    bằng cách  lần lượt chia   cho các số tự nhiên từ   đến   để xét xem   chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của

Tính chất chia hết của môt tổng

- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

 

- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

Mở rộng

Tính chất 3:

Tính chất 4:

Tính chất 5:

2. Dấu hiệu chia hết

3. Số nguyên tố. Hợp số

a. Định nghĩa

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn   chỉ có   ước là   và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn có nhiều hơn ước.

b. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Để tìm một ước nguyên tố của ta có thể làm như sau:

Bước 1: Chia cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần

Bước 2: Số chia trong phép chia hết đầu tiên là một ước của

- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn   ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

- Viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn, tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.

Các cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

Sơ đồ cột:

Chia số cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn ), rồi chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng  xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng

Sơ đồ cây:

Bước 1: Phân tích số n thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 2: Tiếp tục phân tích ước thứ nhất và ước thứ hai thành tích của hai số bất kì khác 1 và chính nó.

Bước 3: Cứ như vậy đến khi nào xuất hiện số nguyên tố thì dừng lại.

Bước 4: Số n bằng tích của các số cuối cùng của mỗi nhánh.

Nhận xét:

* Cách tính số lượng các ước của một số :  ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:      

Nếu thì   có ước

Nếu thì   có ước

Nếu thì   có ước.

4. Ước chung và ước chung lớn nhất

a. Ước chung

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Nhận xét:

+) ƯC nếu và

+) ƯC nếu ; và

b. Ước chung lớn nhất

+) Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

+) Cách tìm ước chung lớn nhất –ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau :

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Chú ý:  Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

+) Cách tìm ƯC thông qua ƯCLN

Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có tể tìm các ươc của ƯCLN của các số đó.

Ứng dụng trong rút gọn phân số tối giản

Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho ước chung khác 1 (nếu có) của chúng.

Phân số tối giản:  là phân số tối giản nếu ƯCLN

Đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản: Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN.

5. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

a. Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Nhận xét:

+) nếu và

+) nếu ;   và

b. Bội chung nhỏ nhất

+) Định nghĩa

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

+) Cách tìm bội chung nhỏ nhất-BCNN

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau :

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

+) Cách tìm bội chung thông qua bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Ứng dụng trong tìm mẫu chung của các phân số

Cách 1: Chọn mẫu chung cho hai phân số là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số đó.

Cách 2: Chọn bội chung bất kì khác 0 của 2 mẫu số đó.