Bài tập cuối chương IV trang 87

Giải bài 4.33 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các số đo x, y trong tam giác dưới đây (H.4.75)

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác,

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}x + x + {20^\circ} + x + {10^\circ} = {180^\circ}\\ 3x = {150^\circ}\\ x = {50^\circ}\end{array}\)

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}y + {60^\circ} + 2y = {180^\circ}\\ 3y = {120^\circ}\\ y = {40^\circ}\end{array}\)

Giải bài 4.34 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong Hình 4.76, có AM = BM, AN = BN. Chứng minh rằng\(\widehat {MAN} = \widehat {MBN}\).

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta MNA\) và \(\Delta MNB \) có:

AM=BM (gt)

AN=BN (gt)

MN chung

Suy ra \(\Delta MNA = \Delta MNB\) (c.c.c)

Do đó \(\widehat {MAN} = \widehat {MBN}\) (2 góc tương ứng)

Giải bài 4.35 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong Hình 4.77, có AO = BO,\(\widehat {OAM} = \widehat {OBN}\). Chứng minh rằng AM = BN.

Lời giải chi tiết

Xét 2 tam giác OAM và OBN có:

\(\widehat {OAM} = \widehat {OBN}\) (gt)

AO=BO (gt)

\(\widehat{O}\) chung

Do đó \(\Delta OAM = \Delta OBN\) (g.c.g)

Suy ra AM=BN (2 cạnh tương ứng)

Giải bài 4.36 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong Hình 4.78, ta có AN = BM, \(\widehat {BAN} = \widehat {ABM}\). Chứng minh rằng \(\widehat {BAM} = \widehat {ABN}\).

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta ANB \) và \(\Delta BMA\) có:

AN=BM (gt)

\(\widehat {BAN} = \widehat {ABM}\) (gt)

AB chung

Do đó \(\Delta ANB = \Delta BMA\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat{ABN} = \widehat{BAM}\) (2 góc tương ứng)

Giải bài 4.37 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho M, N là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho AM = AN. Chứng minh rằng MB = NB và góc AMB bằng góc ANB.

Lời giải chi tiết

Vì M, N nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB; NA = NB (tính chất)

Mà MA = NA (gt)

Do đó, MA = NA = MB = NB.

Xét tam giác AMB và tam giác ANB có:

MA = NA (gt)

MB = NB (cmt)

AB chung

Do đó, ∆AMB = ∆ANB (c – c – c).

Suy ra \( \widehat{AMB}=\widehat{ANB}\) (2 góc tương ứng).

Vậy MB = NB và góc AMB bằng góc ANB.

Giải bài 4.38 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {A} = 120^\circ \). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta \)BAM = \(\Delta \)CAN;

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Lời giải chi tiết

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

\(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^\circ)\)

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A)

Do đó \(\Delta BAM = \Delta CAN\) (g.c.g)

b) Cách 1: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^\circ} - {{120}^\circ}}}{2} = {30^\circ}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ {30^\circ} + {90^\circ} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ \text{suy ra } \widehat {AMB} = {60^\circ}\\ \text{do đó } \widehat {AMC} = {180^\circ} - \widehat {AMB} = {180^\circ} - {60^\circ} = {120^\circ}\)

Xét tam giác MAC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^\circ}\\ {120^\circ} + \widehat {MAC} + {30^\circ} = {180^\circ}\\ \text{suy ra } \widehat {MAC} = {30^\circ} = \widehat C\end{array}\)

Do đó tam giác AMC cân tại M.

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

suy ra BM+MN=CN+NM

hay BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

\(AN = AM\) (do \(\Delta BAM = \Delta CAN\))

BN=MC (cmt)

Suy ra \(\Delta ANB = \Delta AMC\) (c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M nên tam giác ANB cân tại N.

Cách 2: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^\circ} - {{120}^\circ}}}{2} = {30^\circ}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ {30^\circ} + {90^\circ} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ \text{suy ra } \widehat {AMB} = {60^\circ}\)

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

Do đó \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

suy ra \(\widehat {NAM}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\)

\(\widehat{BAN} + 60^\circ=90^\circ\)

suy ra \(\widehat{BAN}=30^0\)

Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^\circ\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N.

Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\)

\(\widehat{CAM} + 60^\circ=90^\circ\)

suy ra \(\widehat{CAM}=30^\circ\)

Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^\circ\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.

Giải bài 4.39 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho . Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAM cân tại M;

b) Tam giác BAM là tam giác đều;

c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có:

Xét tam giác CAM có

Suy ra tam giác CAM cân tại M.

b) Xét tam giác CAM có:

Xét tam giác ABM có:

Do nên tam giác ABM đều.

c) Vì  đều nên

Mà  cân tại M nên MA = MC

Suy ra MB = MC. Mà M nằm giữa B và C

Do đó M là trung điểm của BC.