Luyện tập chung trang 62 Toán 8 kết nối tri thức

Giải bài 3.19 trang 63 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong các tứ giác ở Hình 3.39, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

Lời giải chi tiết

* Hình 3.39a)

Tứ giác ABCD có: 

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

* Hình 3.39b)

Tứ giác ABCD có:   (70°≠75°).

Do đó, tứ giác ABCD không là hình bình hành.

* Hình 3.39c)

Đặt  (như hình vẽ)

Ta có:  mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC.

Tứ giác ABCD có:

• AD // BC (chứng minh trên)

• AD = BC (giả thiết)

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD trong Hình 3.39a) và 3.39c) là hình bình hành; tứ giác ABCD trong Hình 3.39b) không là hình bình hành. 

Giải bài 3.20 trang 63 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng:

a) AN = CM;

b) 

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Tứ giác AMCN có AM // CN (vì AB // CD); AM = CN (giả thiết).

Suy ra, tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AN = CM (đpcm).

b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành suy ra  (đpcm).

Giải bài 3.21 trang 63 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Vẽ tứ giác ABCD theo hướng dẫn sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB.

Bước 2. Lấy điểm C ∈ a.

Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A, D nằm cùng phía đối với BC.

Hãy giải thích tại sao tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Ta thực hiện vẽ tứ giác ABCD theo các bước ở đề bài như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB

Bước 2. Lấy điểm C ∈ a

Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A, D nằm cùng phía đối với BC

Nối AD, BC ta có tứ giác ABCD là hình bình hành

Tứ giác ABCD là hình bình hành do:

• AB // CD (vì AB // a; C, D ∈ a);

• AB = CD (giả thiết).

Giải bài 3.22 trang 63 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 cm, AD = 5 cm.

a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?

b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.

Lời giải chi tiết

a) Vì AD > AB (5 cm > 3 cm) nên tia phân giác của góc A cắt cạnh BC.

b) Gọi E là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC.

Khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C tức là khoảng cách từ điểm E đến C, chính là độ dài đoạn EC.

Vì AE là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Vì AD // BC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành) nên $\widehat{A_2}=\widehat{E_1}$.

Do đó $\widehat{A_1}=\widehat{E_1}$.

Tam giác ABE cân tại B (vì ) suy ra AB = BE.

Mà AD = BC (vì ABCD là hình bình hành).

Ta có BC = BE + EC.

Suy ra EC = BC – EC = 5 – 3 = 2 (cm).

Vậy EC = 2 cm.

Giải bài 3.23 trang 63 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành;

b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là M.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà M là trung điểm của AF.

Suy ra M cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Giải bài 3.24 trang 63 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho ba điểm không thẳng hàng.

a) Tìm một điểm sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình bình hành.

b) Hỏi tìm được bao nhiêu điểm như vậy?

Lời giải chi tiết

a) Gọi ba điểm không thẳng hàng đó là A, B, C. Khi đó ta cần tìm điểm D để bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của hình bình hành. Gọi (H) là hình bình hành cần tìm.

+ TH1. Nếu A là đỉnh đối của D trong (H), khi đó trung điểm của AD trùng với trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có M cũng là trung điểm của AD. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD, ta được hình bình hành ABDC là (H).

 

+ TH2. Nếu B là đỉnh đối của D trong (H), khi đó trung điểm của BD trùng với trung điểm của AC.

Gọi N là trung điểm của AC. Ta có N cũng là trung điểm của BD. Trên tia đối của tia NB lấy điểm D sao cho BN = ND, ta được hình bình hành ABCD là (H).

 

+ TH3. Nếu C là đỉnh đối của D trong (H), khi đó trung điểm của CD trùng với trung điểm của AB.

Gọi P là trung điểm của AB. Ta có P cũng là trung điểm của CD. Trên tia đối của tia PC lấy điểm D sao cho CP = PD, ta được hình bình hành ACBD là (H).

 

b) Theo phần a, ta thấy có 3 điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Khi D là đỉnh đối của A thì ta có hình bình hành ABDC.

Khi D là đỉnh đối của B thì ta có hình bình hành ABCD.

Khi D là đỉnh đối của A thì ta có hình bình hành ACBD.