Bài 14. Hình thoi và hình vuông Toán 8 kết nối tri thức

Câu hỏi

Hình thoi có phải là hình bình hành không? Nếu có, từ tính chất đã biết của hình bình hành, hãy suy ra những tính chất tương ứng của hình thoi.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa hình thoi

Lời giải chi tiết:

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên ta suy ra hai cặp cạnh đối bằng nhau.

Ta suy ra tính chất hình thoi dựa vào tính chất của hình bình hành như sau:

- Hình thoi có hai góc đối bằng nhau.

- Hình thoi có các cặp cạnh đối song song.

- Hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

HĐ1

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O (H.3.48).

a) ∆ABD có cân tại A không?

b) AC có vuông góc với BD không và AC có là đường phân giác của góc A không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa hình thoi.

Lời giải chi tiết:

a) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Suy ra ∆ABD có cân tại A.

b) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Xét ∆ABC và ∆ADC có:

AB = AD (chứng minh trên);

BC = CD (chứng minh trên);

Cạnh AC chung.

Do đó ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$(hai góc tương ứng)

Hay AC là đường phân giác của góc A.

Tam giác ABD cân tại A có AO là đường phân giác của góc A (vì AC là đường phân giác góc A) nên AO cũng là đường cao.

Khi đó AO ⊥ BD hay AC ⊥ BD.

Vậy AC vuông góc với BD và AC là đường phân giác của góc A.

Câu hỏi 2

Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.

Phương pháp giải:

Vẽ hình và viết giả thiết kết luận

Lời giải chi tiết:

Giả thiết, kết luận của Định lí 2.

a)

Ta có thể viết giả thiết đối với các cặp cạnh kề khác, chẳng hạn như:

Hình bình hành ABCD có BC = CD hoặc CD = DA hoặc DA = AB.

b)

c)

Ta có thể viết giả thiết tương tự đối với tia phân giác góc B hoặc góc C hoặc góc D.

Luyện tập 1

Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.51 và dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình thoi

Lời giải chi tiết:

• Hình 3.51a)

Tứ giác đã cho có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và chúng vuông góc với nhau nên tứ giác đó là hình thoi.

• Gọi tứ giác trong Hình 3.51b) là tứ giác ABCD.

Vì  mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Mà AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mặt khác,  hay DB là tia phân giác của 

Khi đó, hình bình hành ABCD có DB là tia phân giác của .

Do đó tứ giác ABCD là hình thoi.

• Tứ giác trong Hình 3.51c) hai đường chéo vuông góc với nhau và có đường chéo là đường vuông góc của một góc của tứ giác.

Từ đó ta suy ra tứ giác đã cho không phải là hình thoi.

Vậy Hình 3.51a và Hình 3.51b là hình thoi.

HĐ2

Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất: hình vuông cũng là hình thoi và  hình chữ nhật

Lời giải chi tiết:

Hình vuông cũng là hình thoi, hình chữ nhật.

Mà hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau còn hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Do đó, hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Câu hỏi

Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Phương pháp giải:

Vẽ hình và ghi giả thiết kết luận theo hình

Lời giải chi tiết:

Ta có thể viết giả thiết đối với cặp cạnh kề khác như: AB = BC; BC = CD; CD = AD.

Luyện tập 2

Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Phương pháp giải:

Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình vuông

Lời giải chi tiết:

• Hình 3.54a)

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra tứ giác này là hình chữ nhật.

Mà AB = BC nên tứ giác ABCD là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

• Hình 3.54b)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

Ta có $$\widehat{EFG}=\widehat{EFP}+\widehat{GFP}={45}^o+{45}^o={90}^o$$

Suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật EFGH có đường chéo FH là đường phân giác của $\widehat{EFG}$.

Do đó tứ giác EFGH là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc của hình vuông.

 • Hình 3.54c)

Tứ giác IJKL có hai đường chéo IK và JL bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm Q của mỗi đường.

Suy ra tứ giác IJKL là hình chữ nhật.

Mà IK ⊥ JL nên tứ giác IJKL là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông

Vận dụng

Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt theo đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?

Hãy giải thích tại sao.

- Trong trường hợp a, ta được hình thoi.

- Trong trường hợp b, ta được hình vuông

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3.46 và giải thích

Lời giải chi tiết:

- Trong trường hợp a:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

- Trong trường hợp b:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.