Luyện tập chung trang 73 Toán 8 kết nối tri thức

Giải bài 3.34 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MP.

a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?

b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác AMCP là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác AMCP có hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường.

Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành.

b) Xét ∆MAN và ∆PCN có:

AN = NC (vì N là trung điểm của AC)

 (hai góc đối đỉnh)

MN = NP (vì N là trung điểm MP)

Do đó ∆MAN = ∆PCN (c.g.c).

Suy ra  (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra AM // CP nên BM // CP.

Mặt khác, ∆MAN = ∆PCN suy ra AM = CP (hai cạnh tương ứng)

Mà AM = BM (vì M là trung điểm của AB) nên BM = CP.

Tứ giác BMPC có BM // CP và BM = CP nên tứ giác BMCP là hình bình hành.

• Để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì AC = MP.

Mà BC = MP (vì tứ giác BMCP là hình bình hành).

Do đó AC = BC nên tam giác ABC là tam giác cân tại C.

Vây để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì tam giác ABC là tam giác cân tại C.

• Để hình bình hành AMCP là hình thoi thì AM = CM hay

Tam giác ABC có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của tam giác ABC.

Mà

Khi đó tam giác ABC vuông tại C.

Vậy để hình bình hành AMCP là hình thoi thì tam giác ABC vuông tại C.

• Để hình bình hành AMCP là hình vuông thì hình bình hành AMCP là hình chữ nhật có AM = CM (hai cạnh kề bằng nhau).

+ Để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì ABC là tam giác cân tại C (dựa vào phần chứng minh hình bình hành AMCP là hình chữ nhật)

+ Tam giác ABC có AM = CM thì tam giác ABC vuông tại C (dựa vào phần chứng minh hình bình hành AMCP là hình thoi)

Khi đó, tam giác ABC vuông cân tại C.

Vậy để hình bình hành AMCP là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại C.

Giải bài 3.35 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay AM // DN.

Suy ra (hai góc so le trong)

Mà  (vì DM là tia phân giác ).

Do đó  nên tam giác ADM cân tại A.

Chứng minh tương tự, ta có tam giác BCN cân tại C.

Vì  (vì DM, BN lần lượt là tia phân giác của ).

Mà  (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó 

Tam giác ADM cân tại A, tam giác BCN cân tại C.

Mà  nên  suy ra 

Tứ giác BMDN có  nên tứ giác BMDN là hình bình hành.

Suy ra DM // BN hay HE // GF.

Tam giác ADM cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao.

Suy ra  nên 

Mà HE // GF suy ra  (hai góc đồng vị).

Tương tự, ta cũng chứng minh được: 

Tứ giác EFGH có 

Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Giải bài 3.36 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một khung tre hình chữ nhật có lắp đinh vít tại bốn đỉnh. Khi khung tre này bị xô lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình gì? Tại sao? Hỏi khi nẹp thêm một đường chéo vào khung đó thì nó còn bị xô lệch không?

Lời giải chi tiết

Khi khung tre bị xô lệch, các góc không còn vuông nữa nhưng các cạnh đối vẫn song song với nhau.

Do đó, sau khi khung tre này bị xô lệch thì tứ giác tạo thành là hình bình hành.

Khi nẹp thêm một đường chéo vào khung thì hai đường chéo của hai đỉnh đối diện được giữ cố định nên các đỉnh trong hình trên không bị giữ xô lệch.

Giải bài 3.37 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Gọi Ou và Ov lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù xOy và x’Oy; A là một điểm khác O trên tia Ox. Gọi B và C là chân đường vuông góc hạ từ A lần lượt xuống đường thẳng chứa Ou và Ov. Hỏi tứ giác OBAC là hình gì? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Vì Ou, Ov lần lượt là tia phân giác của  nên 

Mà  (vì  là hai góc kề bù).

Hay 

Suy ra 

Do đó  hay  suy ra  hay 

Vì B và C là chân đường vuông góc hạ từ A lần lượt xuống đường thẳng chứa Ou và Ov

Nên 

Tứ giác OBAC có 

270°+

Suy ra =360°−270°=90^o

Xét tứ giác OBAC có 

Vậy tứ giác OBAC là hình chữ nhật.

Giải bài 3.38 trang 73 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N.

Chứng minh DM + BN = MN.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat D = {90^o}\)

Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N nên \(\widehat {APM} = {90^o}\)

Do đó \(\widehat D = \widehat {APM} = {90^o}\)

Xét ∆ADM và ∆APM có:

\(\widehat D = \widehat {APM} = {90^o}\) (chứng minh trên)

Cạnh AM chung

\(\widehat {MA{\rm{D}}} = \widehat {MAP}\)(vì AM là tia phân giác của \(\widehat {DAP}\)).

Do đó ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MD = MP (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có BN = PN.

Ta có MP + PN = MN mà MD = MP; BN = PN (chứng minh trên)

Do đó DM + BN = MN.