Bài 13. Mở đầu về đường tròn - Toán 9 Kết nối tri thức

Lý thuyết Mở đầu về đường tròn Toán 9 Kết nối tri thức

1. Đường tròn

Định nghĩa đường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

Khi không cần để ý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).

Điểm thuộc đường tròn

Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết \(A \in \left( O \right)\). Khi đó, ta còn nói đường  tròn (O) đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

Tổng quát:

- Điểm A nằm trên đường tròn (O; R) nếu OA = R;

- Điểm A nằm trong đường tròn (O; R) nếu OA < R;

- Điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OA > R.

Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O;R).

2. Tính đối xứng của đường tròn

a) Đối xứng tâm

Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua điểm I (hay qua tâm I) nếu I là trung điểm của đoạn MM’.

Ví dụ: Nếu O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD thì

+) OA = OC nên A và C đối xứng với nhau.

+) OB = OD nên B và D đối xứng với nhau.

b) Đối xứng trục

Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d (hay qua trục d) nếu d là đường trung trực của đoạn MM’.

Ví dụ: Nếu AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A thì AH cũng là đường trung trực của BC, nên B và C đối xứng với nhau qua AH.

c) Tâm đối xứng của đường tròn

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó. - Đường tròn có một tâm đối xứng.

d) Trục đối xứng của đường tròn

- Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó. - Đường tròn có vô số trục đối xứng.

Giải mục 1 trang 84 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 85, 86 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 5.1 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M (0 ; 2), N (0; -3) và P(2; -1). Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn ? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Vì nên điểm M nằm trong đường tròn.

Vì OP là đường chéo của tam giác vuông có cạnh là 1 và 2 nên nên P nằm trên đường tròn.

Vì nên điểm N nằm ngoài đường tròn.

Giải bài tập 5.2 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Chứng minh rằng các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lý Pythagore ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25\Rightarrow BC=5$(cm)

Gọi O là trung điểm của cạnh BC.

Ta có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $OA=\frac{BC}{2}=OB=OC=2,5$(cm).

Suy ra A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kính OB = 2,5 cm.

Giải bài tập 5.3 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d, C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.

a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) hay không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Lời giải chi tiết

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC

D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, và BD = AC ( bằng 2 lần bán kính (O))

Nên ABCD là hình chữ nhật.

c) ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà  $AB\perp d$ nên $d\perp CD$

Xét tam giác OCD có OC = OD nên tam giác OCD cân tại O mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD. Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

Giải bài tập 5.4 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng chỉ có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm.

Lời giải chi tiết

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD và E là trung điểm của AC và BD.

Suy ra: EA = EB = EC = ED

Vậy A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay chỉ có một đường tròn duy nhất đi qua bốn điểm này.

Đường tròn (E) có tâm E là tâm đối xứng và có hai trục đối xứng là AC và BD.

b) Áp dụng định lý Pythagore với tam giác ABC vuông tại B có:

(cm)
Vậy bán kính đường tròn là: (cm).