Luyện tập chung trang 96 - Toán 9 Kết nối tri thức

Giải bài tập 5.14 trang 97 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho dây AB không qua tâm của đường tròn (O). Gọi A’ và B’ là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua (O). Hỏi đường trung trực của A’B’ có phải là trục đối xứng của (O) hay không? Tại sao? 

Lời giải chi tiết

Vì A' và B' là hai điểm lần lượt đối xứng với A và B qua (O) nên OA = OA', OB = OB'.

Mà dây AB không qua tâm của đường tròn (O) nên OA = OB (đều là bán kính của đường tròn (O)).

Suy ra OA = OA' = OB = OB'.

Vì OA’ = OB’ nên O thuộc đường trung trực của A’B’.

Vậy đường trung trực của A’B’ là một trục đối xứng của (O).

Giải bài tập 5.15 trang 97 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC không là tam giác vuông. Gọi H và K là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ B và C xuống AC và AB. Chứng minh rằng:

a) Đường tròn đường kính BC đi qua các điểm H và K;

b) KH < BC.

Lời giải chi tiết

a) Gọi trung điểm của BC là O

Tam giác vuông BKC có KO là đường trung tuyến KO ứng với cạnh huyền BC nên KO = OB = OC hay B, K, C thuộc đường tròn tâm O đường kính BC (1)

Tam giác BHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên HO = BO = OB hay B, H, C thuộc được đường tròn tâm O đường kính BC (2)

Từ (1) và (2) ta có K, H thuộc đường tròn tâm O đường kính BC.

b) Đường tròn tâm O có BC là đường kính, KH là dây không qua tâm O nên KH < BC.

Giải bài tập 5.16 trang 97 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có thể xem guồng nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.22a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác.

Giả sử ngấn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên hình 5.22b, điểm ngập sâu nhất là điểm C, ta có AB = 4 m và HC = 0, 5 m). Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.

Lời giải chi tiết

Tam giác OAB có OA = OB nên tam giác OAB cân tại O

Mà OH là đường cao nên OH cũng là đường trung trực của AB hay H là trung điểm của AB

Do đó m

Xét đường tròn tâm O bán kính R nên ta có m

Tam giác OAH vuông tại H nên ta có: (Định lý Pythagore)

Thay số ta có: hay suy ra m

Vậy bán kính của guồng nước là 4,25 m.

Giải bài tập 5.17 trang 98 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm. Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

suy ra (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

suy ra (hai cạnh tương ứng), do đó

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

(định lý Pythagore)

hay

suy ra (cm)

do đó (cm)

c) Xét tam giác OAH vuông tại H có:

suy ra

Mà:

Do đó (hai góc tương ứng)

Suy ra

hay sđ

Độ dài cung AB là: (cm)

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

Giải bài tập 5.18 trang 98 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (H.5.23). Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

 

Lời giải chi tiết

Chu vi một vòng chiếc líp là: (cm)

Bán kính tỉ lệ nghịch với số vòng quay được của líp và giò đĩa.

Khi đạp 1 vòng thì bánh xe (hoặc líp) quay được số vòng là: (vòng)

Chu vi của bánh xe (đường kính 65cm = 0,65m) là: (m)

Khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường là: (m) 

Giải bài tập 5.19 trang 98 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác đều ABC có AB = \({\rm{2}}\sqrt 3 \)cm. Nửa đường tròn đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (khác B và C) (H.5.24).

a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ BD, DE và EC bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.

b) Tính diện tích của hình viên phân (xem ví dụ 2) giới hạn bởi dây BD và cung nhỏ BD.

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là trung điểm của BC

Vì OB = OD nên tam giác OBD là tam giác cân tại O

Mà \(\widehat {{\rm{OBD}}} = 60^\circ \)(do tam giác ABC đều)

Suy ra tam giác OBD đều.

Do đó: \(\widehat {{\rm{BOD}}} = 60^\circ \)

Tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{COE}}} = 60^\circ \)

Lại có: \(\widehat {{\rm{BOD}}} + \widehat {{\rm{DOE}}} + \widehat {{\rm{COE}}} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {{\rm{DOE}}} = 60^\circ \)

Khi đó: \(\widehat {{\rm{BOD}}} = \widehat {{\rm{COE}}} = \widehat {{\rm{DOE}}} = 60^\circ \)

Hay sđ\(\overset\frown{BD}=\) sđ\(\overset\frown{CE}=\) sđ\(\overset\frown{DE}=60{}^\circ \)

b) Đường tròn (O) có bán kính \(OA = \frac{{AB}}{2} = \frac{{{\rm{2}}\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)(cm)

\(S_q = \frac{60}{360}.\pi.(\sqrt{3})^2 = \frac{\pi}{2} (cm^2) \)

Kẻ \(DH \bot OB\), tam giác OBD đều nên DH cũng là đường trung tuyến, suy ra H là trung điểm của OB.

Suy ra \( OH = \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt 3}{2}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ODH, ta có:

\(DH = \sqrt{OD^2-OH^2} = \sqrt{3 - \left({\frac{\sqrt3}{2}}\right)^2} = \frac{3}{2}\)

Diện tích tam giác OBD là:

\(S_{\Delta OBD} = \frac{DH.OB}{2} = \frac{3.\sqrt3}{2.2} = \frac{3\sqrt3}{4}\) 

Diện tích hình viên phân là:

\(S_{vp} = S_q - S_{\Delta OBD} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt3}{4} \approx 0,27 (cm^2)\)