Luyện tập chung trang 108 - Toán 9 Kết nối tri thức

Giải bài tập 5.28 trang 109 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, điểm O nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ O đến a và b lần lượt bằng 2 cm và 3 cm.

a) Hỏi bán kính của đường tròn (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b?

b) Biết rằng đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (O; R) và đường thẳng b.

Lời giải chi tiết

a) Đường tròn (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b khi và chỉ khi R > 3 cm.

b) Đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a nên R = 2 < 3 (nhỏ hơn khoảng cách từ O đến đường thẳng b nên đường thẳng b cắt đường tròn (O; R))

Do đó (O; R) cắt đường thẳng b.

Giải bài tập 5.29 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T₁), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T₂).

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của (T₁) và (T₂) lần lượt là R₁ và R₂. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng và có bán kính bằng . Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T₃) đối với mỗi đường tròn (T₁) và (T₂). Vẽ ba đường tròn đó nếu R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm.

Lời giải chi tiết

a) Hai đường tròn (T₁) và (T₂) là hai đường tròn đồng tâm, (T₁) chứa (T₂).

b) Gọi tâm của (T₁) là O, tâm của (T₃) là O’

Xét và , ta có:

; hay

Vì nên hay hay

Vậy (T₁) đựng (T₃).

Xét và , ta có:

; hay

.

TH1: hay thì

Suy ra

Vậy (T₂) và (T₃) cắt nhau.

TH2: hay thì

Vậy (T₂) tiếp xúc ngoài với (T₃).

TH2: hay thì

Vậy (T₂) và (T₃) ở ngoài nhau.

+ Với R₁ = 3 cm, R₂ = 2 cm, so sánh với , ta được , khi đó (T₂) và (T₃) cắt nhau.

Ta có hình vẽ sau:

Giải bài tập 5.30 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx’ tại A và tiếp tuyến yy’ tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (khác A và B) cắt xx’ tại M và cắt yy’ tại N.

a) Chứng minh rằng MN = MA + NB.

b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.

c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

Lời giải chi tiết

a) MA và MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MP

NB và NP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên NB = NP

Ta có: MN = MP + NP = MA + NB

b) Gọi K là giao điểm của AN và OQ.

Ta có: (vì cùng vuông góc với AB) và O là trung điểm của AB.

Suy ra OK là đường trung bình của tam giác ABN.

Do đó K là trung điểm của AN.

Lại có: (vì cùng vuông góc với AB) và K là trung điểm của AN.

Suy ra QK là đường trung bình của tam giác AMN.

Do đó Q là trung điểm của MN.

c) OK là đường trung bình của tam giác ABN nên

QK là đường trung bình của tam giác AMN nên

Suy ra:

hay

Do đó O thuộc đường tròn đường kính MN.

Mà OQ vuông góc với AB tại O nên AB là tiếp của đường tròn đường kính MN.

Giải bài tập 5.31 trang 110 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó và . Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O’);

b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a) Vì hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A nên

Vì AM là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên suy ra

Suy ra MA là tiếp tuyến của (O') hay MA tiếp xúc với (O').

b) MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MB

MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MC

Suy ra MB = MC = MA hay M là trung điểm của BC

Do đó tam giác ABC vuông tại A.