Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Toán 9 Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 99 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng a và điểm O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống a, và A là một điểm thuộc tia OH. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ đường tròn (O; OA) và cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; OA) có bao nhiêu điểm chung?

Phương pháp giải:

Vẽ đường tròn (O; OA), quan sát hình vẽ và trả lời.

Lời giải chi tiết:

a)

OH < OA

Đường thẳng a và đường tròn có 2 điểm chung.

b)

OH = OA

Đường thẳng a và đường tròn có 1 điểm chung.

c)

OH > OA

Đường thẳng a và đường tròn không có điểm chung.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 100 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 4 cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng a. Tại sao?

a) (O; 3 cm)

b) (O; 5 cm)

c) (O; 4 cm)

Phương pháp giải:

So sánh bán kính của đường tròn R với khoảng cách d từ O đến a:

+ Nếu R > d thì đường tròn cắt đường thẳng a;

+ Nếu R = d thì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a;

+ Nếu R < d thì đường tròn không cắt đường thẳng a.

Lời giải chi tiết:

a) Vì R = 3 < 4 nên đường tròn (O; 3 cm) không cắt đường thẳng a.

b) Vì R = 5 > 4 nên đường tròn (O; 5 cm) cắt đường thẳng a.

c) Vì R = 4 nên đường tròn (O; 4 cm) tiếp xúc với đường thẳng a.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 100 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho đoạn thẳng OH và đường thẳng a vuông góc với OH tại H.

a) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng a.

b) Nếu vẽ đường tròn (O; OH) thì đường tròn này và đường thẳng a có vị trí tương đối như thế nào?

Phương pháp giải:

a) Khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng OH.

b) Đường tròn (O; OH) tiếp xúc với đường thẳng a.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng OH.

b) Đường tròn (O; OH) tiếp xúc với đường thẳng a.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 100 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (I; 3cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông đối với tam giác IBC, từ đó suy ra được khoảng cách từ I đến BC bằng 3 cm hay BC tiếp xúc với (I; 3 cm).

Chứng minh tương tự với 3 cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC.

Khi đó H cũng là trung điểm của BC.

Do ABCD là hình vuông nên AC và BD vuông góc.

Tam giác IBC vuông tại I có trung tuyến IH

Suy ra: $IH=HB=HC=\frac{BC}{2}=3$ (cm)

Suy ra đường tròn (I; 3 cm) tiếp xúc với cạnh BC.

Tương tự ta cũng chứng minh được (I; 3 cm) tiếp xúc với 3 cạnh còn lại.

Vậy (I; 3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

TH

Trả lời câu hỏi Thực hành trang 100 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a. Hãy vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với a.

Phương pháp giải:

Từ điểm M không thuộc a, để vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với a thì từ M kẻ vuông góc với đường thẳng, đoạn nối từ điểm M tới chân đường vuông góc là bán kính của đường tròn tâm M, thì lúc này a là tiếp tuyến của đường tròn tâm M, hay a tiếp xúc với đường tròn tâm M.

Lời giải chi tiết:

Từ M kẻ MH vuông góc với đường thẳng a, vẽ đường tròn tâm M, bán kính là MH.

Ta được đường tròn tâm O tiếp xúc với a.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 100 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.

Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.

Phương pháp giải:

Khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng luôn bé hơn bán kính thì đường thẳng cắt đường tròn. Và bằng bán kính thì đường thẳng tiếp xúc đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Đường kính của đồng xu là $2.1=2$ cm và bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Giả sử nếu đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng tức là đồng xu đè lên từ 2 đường thẳng trở lên, tức là đường tròn viền của đồng xu sẽ cắt hai đường thẳng nên khoảng cách từ tâm của đồng xu đến 1 đường thẳng bé hơn bán kính.

Do đó ta có: khoảng cách giữa hai đường thẳng song song gần nhất sẽ bé hơn 2 lần bán kính của đường tròn tức là 2 cm (vô lí do khoảng cách giữa hai đường thẳng là 2 cm).

Giả sử sai nên đồng xu không thể cắt hai đường tròn cùng 1 lúc.

Hay đồng xu chỉ cắt tối đa 1 đường thẳng (tức là đè lên 1 đường thẳng) hoặc đồng xu nằm giữa hai đường thẳng (hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn viền ngoài của đồng xu) hay đồng xu không đè lên đường thẳng nào.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 101 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho điểm M ở bên ngoài một đường tròn tâm O. Hãy dùng thước và compa thực hiện các bước vẽ hình như sau:

- Vẽ đường tròn đường kính MO cắt đường tròn (O) tại A và B;

- Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng MA và MB là hai tiếp tuyến của (O).

Phương pháp giải:

- Lấy trung điểm O’ của OM, vẽ đường tròn tâm O’ bán kính OO’.

- Ta chứng minh MA vuông góc với OA, MB vuông góc với OB.

Lời giải chi tiết:

Tam giác OAM có O’A = O’O = O’M (cùng là bán kính của đường tròn (O’)) nên tam giác OAM vuông tại A.

Suy ra: MA$\perp$OA tại A hay MA là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Tam giác OBM có O’B = O’O = O’M (cùng là bán kính của đường tròn (O’)) nên tam giác OBM vuông tại B.

Suy ra: MB$\perp$OB tại B hay MB là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 102 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

(Dựa vào hình vẽ có được sau HĐ3).

Bằng cách xét hai tam giác OMA và OMB, chứng minh rằng:

a) MA = MB;

b) MO là tia phân giác của góc AMB;

c) OM là tia phân giác của góc AOB.

Phương pháp giải:

Chứng minh $\Delta OAM=\Delta OBM$, từ đó suy ra các cặp cạnh, góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác vuông OAM và OBM có:

OA = OB

OM chung

Vậy $\Delta OAM=\Delta OBM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra: MA = MB (hai cạnh tương ứng)

b) Vì $\Delta OAM=\Delta OBM$ (câu a) nên $\widehat{OAM}=\widehat{OBM}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra MO là tia phân giác của góc AMB.

c) Vì $\Delta OAM=\Delta OBM$ (câu a) nên $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra OM là tia phân giác của góc AOB.

TTN

Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ trang 103 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho góc xMy và điểm A thuộc tia Mx. Hãy vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xMy sao cho A là một trong hai tiếp điểm.

Phương pháp giải:

Cần nhớ kiến thức đường phân giác: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đấy.

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng thì khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính

Lời giải chi tiết:

Vẽ góc xMy rồi lấy điểm A trên Mx, để vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xMy thì khoảng cách từ O đến hai tia Mx và My bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn nên O thuộc đường phân giác của góc xMy.

Để (O) tiếp xúc với Mx tại A thì OA vuông góc với Mx tại A.

Do đó O là giao điểm của phân giác góc xMy và đường vuông góc với Mx tại A.