Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc Toán 11 Kết nối tri thức

HĐ1

Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau m và n. Từ hai điểm phân biệt O, O' tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng a, b và a', b' tương ứng song song với m, n (H.7.2).

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a và b, b' có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

b) Lấy các điểm A, B (khác O) tương ứng thuộc a, b. Đường thẳng qua A song song với OO' cắt a' tại A', đường thẳng qua B song song với OO' cắt b' tại B' Giải thích vì sao OAA'O', OBB'O', ABB'A' là các hình bình hành.

c) So sánh góc giữa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a', b'.

(Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB, O'A'B').

Phương pháp giải:

- Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

- Định lí côsin $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2ab}$.

Lời giải chi tiết:

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a' và b, b' cùng thuộc một mặt phẳng vì a // a', b // b'.

b) Ta có:

+) OA // O′A′; OO' // AA' nên OAA'O' là hình bình hành.

+) OB // O′B′; OO' // BB' nên OBB'O' là hình bình hành.

+) AB // A′B′ và OO' // AA'; OO' // BB' suy ra AA' // BB' nên ABB'A' là hình bình hành.

c)  Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB và O'A'B', ta có:

;

.

Vì O'A' = OA và O'B' = OB; AB = A'B' nên cos(a, b) = cos(a′, b′).

CH

Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) và (a', b') có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

Lời giải chi tiết:

Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) = (a', b').

VD

Kim tự tháp Kheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com).

Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp (H.7.4).

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và qua đó kẻ đường thẳng b' song song với b. Khi đó (a, b) = (a', b').

Lời giải chi tiết:

Vì AB // CD (ABCD là hình vuông) nên (SC, AB) = (SC, CD).

Xét tam giác SCD có:

.

Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp bằng khoảng .

HĐ2

Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN.

Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và qua đó kẻ đường thẳng b' song song với b. Khi đó (a, b) = (a', b').

Lời giải chi tiết:

Vì BC // PN nên (BC, MN) = (PN, MN).

Mà PN vuông góc với MN nên góc giữa hai đường mép này bằng ${90}^o$.

CH

Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b hay không?

Phương pháp giải:

$\begin{array}{c}a\perp b\\ b//c\end{array}\}\Rightarrow a\perp c$.

Lời giải chi tiết:

Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b.

LT

Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (H.7.7). Chứng minh rằng AD và BC vuông góc với nhau và chéo nhau.

Phương pháp giải:

Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b.

Lời giải chi tiết:

+) Xét tam giác ABC có:

M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow$ MN // BC.

Mà NP $\perp$ MN nên NP $\perp$ BC.

Xét tam giác ADC có:

N, P lần lượt là trung điểm của AC, CD

$\Rightarrow$ PN là đường trung bình của tam giác ADC

$\Rightarrow$ PN // AD.

Mà NP $\perp$ BC nên AD $\perp$ BC.

+) BC // MN mà $MN\subset \left(MNP\right)\Rightarrow BC//\left(MNP\right)$.

PN // AD mà $PN\subset \left(MNP\right)\Rightarrow AD//\left(MNP\right)$.

Vậy AD và BC chéo nhau.