Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Phép chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán 11 Kết nối tri thức

1. Phép chiếu vuông góc

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) theo phương \(\Delta \) vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Chú ý:

- Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.

- Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc H’ của hình H trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P).

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng \({90^o}\).

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì \({0^o} \le \alpha  \le {90^o}\).

Nhận xét: Nếu điểm A có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O không trung H. Khi đó góc giữa đường thẳng AO và mặt phẳng (P) bằng góc AOH.

Giải mục 1 trang 38, 39, 40 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 40, 41, 42 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 7.10 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), tam giác ABC vuông tại B.

a) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC).

b) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).

c) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB).

Lời giải chi tiết

a) Ta có SA \( \bot \) (ABC) nên A là hình chiếu của S trên (ABC).

b) A là hình chiếu của S trên (ABC).

B là hình chiếu của B trên (ABC).

C là hình chiếu của C trên (ABC).

\( \Rightarrow \) Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác SBC trên (ABC).

c) B là hình chiếu của C trên (SAB).

S, B là hình chiếu của chính nó trên (SAB).

\( \Rightarrow \) SB là hình chiếu của tam giác SBC trên (SAB).

Bài 7.11 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA (ABCD) và .

a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC).

c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

Lời giải chi tiết

a) A là hình chiếu của S trên (ABCD) (vì ); C là hình chiếu của C trên (ABCD).

AC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

.

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

.

.

Vậy .

b) Vì ABCD là hình vuông nên .

Mặt khác, .

.

Vậy .

c) Gọi , mà (cmt).

O là hình chiếu của B trên (SAC).

Mặt khác, S là hình chiếu của S trên (SAC).

SO là hình chiếu của SB trên (SAC).

Bài 7.12 trang 42 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a.

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Lời giải chi tiết

 

a) Trong (SAB) kẻ $AD\perp SB$ tại D.

Vì $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC$.

Ta có: 

$\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\\ AB,SA\subset \left(SAB\right)\\ AB\cap SA\end{array}$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AD$.

Ta có: 

$\{\begin{array}{c}AD\perp BC\\ AD\perp SB\\ BC,SB\subset \left(SBC\right)\\ BC\cap SB\end{array}\Rightarrow AD\perp \left(SBC\right)$.

Suy ra D là hình chiếu của A trên (SBC).

b) A là hình chiếu của S trên (ABC) $\left(SA\perp \left(ABC\right)\right)$.

C là hình chiếu của C trên (ABC).

$\Rightarrow$ AC là hình chiếu của SC trên (ABC).

$\Rightarrow$ $\left(SC,\left(ABC\right)\right)=\left(SC,AC\right)=\widehat{SCA}$.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2a^2\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

$\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \widehat{SCA}=\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Vậy $\left(SC,\left(ABCD\right)\right)=\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Bài 7.13 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), có hình chiếu H trên (P). Với mỗi điểm M bất kì (không trùng H) trên mặt phẳng (P), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu trên (P) của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM và HM' tương ứng của chúng bằng nhau;

b) Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiếu HM lớn hơn hình chiếu HM'.

Lời giải chi tiết

 

a) 

+) Giả sử SM = SM’

Xét tam giác SHM vuông tại H có

\(S{M^2} = S{H^2} + M{H^2}\) (định lí Pytago)

Xét tam giác SHM’ vuông tại H có

\(S{M'^2} = S{H^2} + M'{H^2}\) (định lí Pytago)

Mà SM = SM’ nên MH = MH’

+) Giả sử HM = HM’

Xét tam giác SHM vuông tại H có

\(S{M^2} = S{H^2} + M{H^2}\) (định lí Pytago)

Xét tam giác SHM’ vuông tại H có

\(S{M'^2} = S{H^2} + M'{H^2}\) (định lí Pytago)

Mà HM = HM’ nên SM = SM’

b) \(MH > M'H \Leftrightarrow M{H^2} > M'{H^2}\)

\(\Leftrightarrow M{H^2} + S{H^2} > M'{H^2} + S{H^2}\)

\(\Leftrightarrow S{M^2} > S{{M'}^2} \Leftrightarrow SM > SM'\)

Bài 7.14 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là \({10^0},{15^o}\). Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?

Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

Lời giải chi tiết

Sau 1 phút cả 2 máy bay bay được quãng đường dài \(1.v = v\).

Áp dụng công thức tính độ cao của máy bay so với mặt đất, ta tính được độ cao của hai máy bay 1 và 2 như sau:

Độ cao của máy bay 1: \({h_1} = v.\sin {10^o} \approx 0,17v\).

Độ cao của máy bay 2: \({h_2} = v.\sin {15^o} \approx 0,26v\).

Do đó, ta thấy rằng độ cao của máy bay 2 lớn hơn độ cao của máy bay 1. Vì vậy, máy bay 2 ở độ cao so với mặt đất lớn hơn sau 1 phút kể từ khi cất cánh.

Bài 7.15 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.

Chú ý. Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất.

Lời giải chi tiết

Để đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm cụ thể, ta cần sử dụng một thiết bị đo góc, thường được gọi là gnomon.

Cách thực hiện đo góc Mặt Trời như sau:

1. Chọn một vị trí cố định trên mặt đất và đặt gnomon vào vị trí đó sao cho nó đứng thẳng đứng và vuông góc với mặt đất.
2. Đợi cho đến khi đến thời điểm giữa trưa, khi tia sáng Mặt Trời đứng thẳng trên vị trí của bạn. Bạn có thể biết được thời điểm này thông qua các trang web hoặc ứng dụng dựa trên vị trí của bạn.
3. Xác định bóng của gnomon trên mặt phẳng ngang và vẽ một đường thẳng từ đỉnh của gnomon đến đỉnh của bóng.
4. Sử dụng thiết bị đo góc để đo góc giữa đường thẳng này và mặt phẳng ngang. Đó chính là góc Mặt Trời tại vị trí và thời điểm đó.