Bài 26. Khoảng cách Toán 11 Kết nối tri thức

HĐ 1

a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, vì sao MK ≥ MH  (H.7.74)

b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Với mỗi điểm K thuộc (P), giải thích vì sao MK ≥ MH (H.7.75).

Phương pháp giải:

Dựa vào mối quan hệ đường xiên và đường vuông góc.

Lời giải chi tiết:

a) Vì H là hình chiếu của M trên đường thẳng a, nên MH là khoảng cách từ M đến a và MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến a, suy ra MK ≥ MH.

b) Vì H là hình chiếu của M trên (P) nên MH vuông góc với (P) do đó MH vuông góc với HK.

Dựa vào mối quan hệ đường xiên và đường vuông góc ta có MK ≥ MH.

LT 1

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.

Phương pháp giải:

- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a, kí hiệu d (M, a), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

- Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), kí hiệu d (M, (P)), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có ,

.

.

Xét trong (ABC): Kẻ .

.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có:

(hệ thức lượng trong tam giác vuông).

.

b)

+) Ta có ,

, .

Do đó tam giác ABC' là tam giác vuông.

+) Trên (ABC’) kẻ .

Xét tam giác ACC’ vuông tại C có:

(Định lí Pythagore).

Xét tam giác ABC’ vuông tại A có:

.

.

HĐ 2

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M, N bất kì thuộc a và gọi A, B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).

Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).

Phương pháp giải:

- Nếu đường thẳng a song song với (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.

- Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Ta có $MA\perp \left(P\right)$ (A là hình chiếu của M trên (P)).

$NB\perp \left(P\right)$ (B là hình chiếu của N trên (P)).

$\Rightarrow$ MA // NB $\Rightarrow$ 4 điểm M, A, B, N đồng phẳng.

$\begin{array}{c}\left(AMNB\right)\cap \left(P\right)=AB\\ a//\left(P\right)\end{array}\}\Rightarrow a//AB$.

$\Rightarrow$ Tứ giác AMNB là hình bình hành.

Mà $MA\perp AB\left(MA\perp \left(P\right)\right)$.

$\Rightarrow$ Tứ giác AMNB là hình chữ nhật nên MA = NB.

Vậy M, N có cùng khoảng cách đến (P).

HĐ 3

a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).

Lời giải chi tiết:

a) Khi một điểm M thay đổi trên đường thẳng m, khoảng cách từ M đến đường thẳng n không thay đổi vì m // n.

b) Vì (P) // (Q) nên các đường thẳng trên mặt (P) đều song song với (Q).

Dựa vào kết quả của hoạt động 2 ta có khi một điểm M thay đổi trên mặt phẳng (P), khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) không thay đổi. 

CH 1

Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với (P) thì giữa d(a, (Q)) và d((P), (Q)) có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).

Lời giải chi tiết:

Gọi M là 1 điểm thuộc a mà a thuộc (P) nên M thuộc (P).

+) a // (Q) nên d(a, (Q)) = d(M, (Q)).

+) (P) // (Q) nên d((P), (Q)) = d(M, (Q)).

$\Rightarrow$ d(a, (Q)) = d((P), (Q)).

LT 2

Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.

a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB = a. Tính d(A, (SBC)).

Phương pháp giải:

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).

Lời giải chi tiết:

a) +) Xét tam giác SBC có:

N, P lần lượt là trung điểm SB, SC.

$\Rightarrow$ PN là đường trung bình tam giác SBC.

$\Rightarrow$ PN // BC $\Rightarrow$ PN // (ABC).

+) Xét tam giác SAB có:

N, M lần lượt là trung điểm SB, SA.

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình tam giác SAB.

$\Rightarrow$ MN // AB.

+) $\begin{array}{c}PN//BC,MN//AB\\ PN\cap MN=\left\{N\right\},BC\cap AB=\left\{B\right\}\end{array}\}\Rightarrow \left(MNP\right)//\left(ABC\right)$.

$\Rightarrow$ d((MNP), (ABC)) = d(M, (ABC)) = MA $=\frac{SA}{2}=\frac{h}{2}$ do SA $\perp$ (ABC).

+) PN // (ABC) $\Rightarrow$ d(NP, (ABC)) = d(N,(ABC)) = d(M, (ABC)) $=\frac{h}{2}$ (do MN // (ABC)).

b)

Ta có $SA\perp BC$, $AB\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)$, $BC\subset \left(SBC\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SBC\right)$.

$\left(SAB\right)\cap \left(SBC\right)=SB$.

Xét trong (SAB): Kẻ $AH\perp SB$.

$\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow$ d(A, (SBC)) = AH.

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{a^2+h^2}{h^2{a}^2}\Rightarrow AH=\frac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}$

Vậy $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}$.

VD

Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng ${15}^o$ so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?

Phương pháp giải:

Tính cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối.

Lời giải chi tiết:

Gọi B là một điểm nằm trên thanh ngang và H là hình chiếu vuông góc xuống mặt dốc.

Vì dốc nghiêng ${15}^o$ so với phương nằm ngang nên nên góc giữa cột và mặt phẳng dốc bằng ${75}^o$.

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng dốc là $BH=2,28.\sin {75}^0\approx 2,2$ (m).

Do đó không cho phép xe cao 2,21 m đi qua.

HĐ 4

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).

a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) hay không?

b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không?

c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q).

b) Ta có $MN\perp \left(Q\right),b\subset \left(Q\right)\Rightarrow MN\perp b$.

$MN\perp a$ (M là hình chiếu của N trên a).

Vậy MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.

c) Vì a // (Q) nên d(a, (Q)) = d(M, (Q)) = MN.

KP

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).

Phương pháp giải:

Nếu đường vuông góc chung $\Delta$ cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.

Lời giải chi tiết:

Vì $a\perp \left(P\right)$ tại O, $OH\subset \left(P\right)\Rightarrow a\perp OH$ tại O.

$OH\perp b$ tại H.

$\Rightarrow d\left(a,b\right)=OH$.

LT 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\perp \left(ABCD\right)$, $SA=a\sqrt{2}$.

a) Tính khoảng cách từ A đến SC.

b) Chứng minh $BD\perp \left(SAC\right)$.

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.

Phương pháp giải:

- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

- Nếu đường vuông góc chung $\Delta$ cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.

Lời giải chi tiết:

a) Trong (SAC) kẻ $AH\perp SC\Rightarrow d\left(A,SC\right)=AH$.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Xét ta giác SAC vuông tại A có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{1}{a^2}$.

$\Rightarrow AH=a\Rightarrow d\left(A,SC\right)=a$.

b) Ta có $BD\perp AC$, $BD\perp SA\left(SA\perp \left(ABCD\right)\right)\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$.

c) Trong (SAC) kẻ $OK\perp SC$.

$OK\perp BD$ $\left(BD\perp \left(SAC\right)\right)\Rightarrow d\left(SC,BD\right)=O$.

Xét tam giác AHC vuông tại H có:

O là trung điểm AC;

OK // AH (cùng vuông góc SC).

$\Rightarrow$ OK là đường trung bình $\Rightarrow OK=\frac{1}{2}AH=\frac{a}{2}$.

$\Rightarrow d\left(BD,SC\right)=\frac{a}{2}$.

TL

Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia. Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.

Phương pháp giải:

Dựa vào lý thuyết về khoảng cách đã học của bài.

Lời giải chi tiết:

- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P)

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.