Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc Toán 11 Kết nối tri thức

HĐ1

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').

Phương pháp giải:

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

- Nếu b // b’ thì (a, b) = (a, b’).

Lời giải chi tiết:

Vì hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q) nên a // a',  b // b'.

Vậy (a, b) = (a', b').

CH1

Góc giữa hai mặt phẳng bằng $0^o$ khi nào, khác $0^o$ khi nào?

Phương pháp giải:

Vị trí tương đối 2 mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Góc giữa hai mặt phẳng:

+) Bằng $0^o$ khi hai mặt phẳng trùng nhau.

+) Khác  khi hai mặt phẳng giao nhau.

LT1

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Phương pháp giải:

Sử dụng nhận xét trang 45 để xác định góc giữa 2 mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

.

+) Nếu .

Mà ABCD là hình chữ nhật nên ABCD là hình vuông.

+) Nếu ABCD là hình vuông .

.

HĐ2

Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Phương pháp giải:

- Sử dụng 2 đường thẳng vuông góc thì góc giữa chúng bằng ${90}^o$.

- Sử dụng nhận xét trang 45 để xác định góc giữa 2 mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) .

b) Gọi .

, .

.

LT2

Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

Trong một phòng, mặt sàn và các mặt tường đều vuông góc với nhau. Khi cánh cửa được đóng lại, thì mặt cửa cũng vuông góc với cả mặt sàn và mặt tường, nên đường thẳng nối bán lề của cánh cửa và cạnh của phòng sẽ là đường thẳng vuông góc với sàn nhà.

Trong quá trình đóng - mở cánh cửa, bán lề của cánh cửa vẫn cố định với mặt tường, nên đường thẳng nối bán lề của cánh cửa và cạnh của phòng vẫn là đường thẳng vuông góc với sàn nhà. Từ đó suy ra, trong quá trình đóng - mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

HĐ3

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến $\Delta$ của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và $\Delta$. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với $\Delta$ tại O.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mỗi quan hệ giữa a và (Q).

Phương pháp giải:

- Sử dụng nhận xét trang 45 để xác định góc giữa 2 mặt phẳng.

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) $\{\begin{array}{c}\left(P\right)\cap \left(Q\right)=\Delta \\ a\subset \left(P\right),a\perp \Delta \\ b\subset \left(Q\right),b\perp \Delta \end{array}\Rightarrow \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left(a,b\right)$.

Do $\left(P\right)\perp \left(Q\right)\Rightarrow \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)={90}^o\Rightarrow \left(a,b\right)={90}^o$.

b) Do $\{\begin{array}{c}a\perp b\\ a\perp \Delta \\ b\cap \Delta \end{array}\Rightarrow a\perp \left(Q\right)$.

HĐ4

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?

b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết:

a) Vì O là một điểm thuộc a là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

Theo nhận xét trang 46 thì a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q).

b) Vì a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) nên a’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) do đó a trùng a' (do a cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)).

c) a vuông góc với (R) do a trùng a’ và a’ vuông góc với (R).

LT3

Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);

b) Giao tuyển của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

Phương pháp giải:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Lời giải chi tiết:

a) Từ ví dụ 3b ta có AB’, AC’ cùng đi qua A và vuông góc với SC.

$\Rightarrow SC\perp \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right),SC\subset \left(SAC\right)\Rightarrow \left(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)\perp \left(SAC\right)$.

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right),SA\subset \left(SAC\right)\Rightarrow \left(ABCD\right)\perp \left(SAC\right)$.

Do đó các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC).

b) Vì (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC) nên giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) vuông góc với (SAC).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

HĐ5

Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc vào giao tuyến hai mặt phẳng tại cùng một điểm.

Lời giải chi tiết:

a) Theo tài liệu nói trên, góc xOy trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°.

b) Vì các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế nên góc giữa lưng ghế và mặt ghế là góc giữa Ox và Oy mà góc xOy có số đo từ 100° đến 105°.

Do đó nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo 75° đến 80°.

LT4

Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), AB = AC = a, , . Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Phương pháp giải:

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A, mà M là trung điểm BC nên (1)

, (2)

Từ (1), (2) ta có là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Xét tam giác ABC cân tại A có:

.

.

.

VD1

Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Phương pháp giải:

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải chi tiết:

Gọi đường kính của khung là AB có tâm I và đường kính của cánh là MN có tâm I’, suy ra II’ = d = 40 cm.

Vì đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau nên mặt phẳng chứa cánh song song với mặt phẳng chứa khung nên hai mặt phẳng đó cắt nhau tại 1 đường thẳng d’ qua O song song với AB và MN.

Vì O là điểm chính giữa nên .

.

Do đó góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa là góc .

Xét tam giác IOI’ có:

.

Tam giác IOI’ đều .

Vậy số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm là .

HĐ6

Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu trong mặt phẳng này có 1 đường vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật.

Vì hình lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc với mặt đáy nên các mặt bên có vuông góc với mặt đáy.

HĐ7

Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Lời giải chi tiết:

Lăng trụ đều có các cạnh bên bằng nhau, đáy là đa giác đều nên các cạnh đáy bằng nhau do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

HĐ8

Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành

Lời giải chi tiết:

Trong 6 mặt của hình hộp đứng, ít nhất 4 mặt là hình chữ nhật vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành và hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy nên các mặt bên là hình chữ nhật.

HĐ9

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

a) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật vì hình hộp đứng có các mặt bên là hình chữ nhật và hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhât.

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Điều này bởi vì cứ 2 đường chéo bất kì của hình hộp chữ nhật đều xác định nằm trong 1 một hình chữ nhật và là 2 đường chéo của hình chữ nhật đó.

HĐ10

Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có các cạnh bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Các mặt của một hình lập phương là các hình vuông do hình hộp chữ nhật có các mặt là hình chữ nhật và có các cạnh bằng nhau.

VD2

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Phương pháp giải:

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết:

Do các hình vuông được cắt ra từ tấm tôn góc ban đầu có kích thước giống nhau, do đó khi ghép các mép lại với nhau, ta sẽ có được đường biên của chiếc hộp chữ nhật. Các cạnh của hình vuông trùng với các cạnh của hộp chữ nhật, do đó khi các mặt được ghép lại với nhau, chúng sẽ tạo thành các mặt của hộp chữ nhật. Vì vậy, bằng cách này, bác Hùng đã tạo ra một chiếc thùng hình hộp chữ nhật từ một tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.

HĐ11

Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).

Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm của đáy tháp.

Phương pháp giải:

Dựa vào kết quả bài 7.13 trang 43 là hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hình chiếu của chúng cũng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp với các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của đỉnh trên đáy tháp sẽ cách đều 4 đỉnh ở đáy mà đáy là hình vuông do đó hình chiếu của đỉnh là tâm của đáy tháp.

HĐ12

Cho hình chóp S.A₁A₂...A_n. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A₁A₂...A_n).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với đa giác đều A₁A₂...A_n?

b) Nếu đa giác A₁A₂...A_n  là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?

Phương pháp giải:

Dựa vào kết quả bài 7.13 trang 43 là hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hình chiếu của chúng cũng bằng nhau

Lời giải chi tiết:

a) Hình chóp S.A₁A₂...A_n  đều nên SA₁ = SA₂ = … = SA_n

Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A₁A₂...A_n) nên OA₁, OA₂, …, OA_n lần lượt là hình chiếu của SA₁, SA₂, …, SA_n

$\Rightarrow$ OA₁ = OA₂ = … = OA_n $\Rightarrow$ O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A₁A₂...A_n  

b) Nếu đa giác A₁A₂...A_n  là đều và O là tâm của đa giác đó thì OA₁ = OA₂ = … = OA_n $\Rightarrow$ SA₁ = SA₂ = … = SA_n $\Rightarrow$ Hình chóp S.A₁A₂...A_n  là hình chóp đều

LT5

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{\frac{5}{12}}$. Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Phương pháp giải:

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải chi tiết:

Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D.

Ta có $AG\perp BC,SG\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SAD\right)$, mà $SD\subset \left(SAD\right)\Rightarrow BC\perp SD$.

$BC\perp AD$ (G là trực tâm)

$\Rightarrow \left[S,BC,A\right]=\left(AD,SD\right)=\widehat{SDA}$.

Tam giác ABC đều cạnh a nên $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Mà G là trọng tâm nên $GD=\frac{1}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Xét tam giác SDC vuông tại D có:

$S{D}^2+D{C}^2=S{C}^2$

$\iff S{D}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2={\left(a\sqrt{\frac{5}{12}}\right)}^2$

$\iff S{D}^2=\frac{a^2}{6}\iff SD=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Xét tam giác SGD vuông tại G có:

$\cos \widehat{SGD}=\frac{GD}{SD}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SGD}={45}^o$.

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng ${45}^o$.

HĐ13

Cho hình chóp đều S.A₁A₂...A_n. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA₁, SA₂,.... SA_n, tương ứng tại B₁, B₂,..., B_n

a) Giải thích vì sao S.B₁B₂...B_n là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác đều A₁A₂...A_n. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B₁B₂...B_n, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A₁A₂...A_n), (B₁B₂...B_n).

Phương pháp giải:

- Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

- Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng sẽ vuông góc với mọi mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

- Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ có duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải chi tiết:

a) Vì mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA₁, SA₂,.... SA_n, tương ứng tại B₁, B₂,..., B_n nên theo định lý Talet trong từng tam giác SA₁A₂, …, SA_n-1A_n thì $\frac{S{B}_1}{S{A}_1}=\frac{S{B}_2}{S{A}_2}=\frac{B_1{B}_2}{A_1{A}_2}=...=\frac{S{B}_n}{S{A}_n}$ mà S.A₁A₂...A_n  là hình chóp đều nên S.B₁B₂...B_n cũng là một hình chóp đều.

b) Ta có $SH\perp \left(A_1{A}_2...A_n\right)$ (H là tâm của đa giác A₁A₂...A_n).

Mà $\left(A_1{A}_2...A_n\right)//\left(B_1{B}_2...B_n\right)$.

$\Rightarrow$$SH\perp \left(B_1{B}_2...B_n\right)$.

Mà $SK\perp \left(B_1{B}_2...B_n\right)$ (K là tâm của đa giác B₁B₂...B_n).

$\Rightarrow$ SH trùng SK.

Vậy đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B₁B₂...B_n, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A₁A₂...A_n), (B₁B₂...B_n).

CH2

Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào kết quả của hoạt động 13 trang 52.

Lời giải chi tiết:

Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau vì theo hoạt động 13 có SB₁ = SB₂ = … = SB_n , SA₁= SA₂=.... = SA_n  nên B₁A₁=…= B_nA_n.