Bài tập cuối chương VII Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 7.33 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho các phát biểu sau:

(1) Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với mặt phẳng \((R)\) thì \(a \bot (R)\).

(2) Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng \(b\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) và vuông góc với đường thẳng \(a\) thì \(b \bot (Q)\).

(3) Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) chứa đường thẳng a và a vuông góc với \((Q)\) thì \((P) \bot (Q)\).

(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì \(a \bot (Q)\).

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:

A. 1.                              

B. 2.                              

C. 3.                              

D. 4.

Lời giải chi tiết

(1) đúng

(2) đúng

(3) đúng

(4) sai

Đáp án C

Bài 7.34 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) và a là giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\). Phát biểu nào sau đây là đúng?

\(A\). Đường thẳng \(d\) nằm trên \((Q)\) thì \(d\) vuông góc với \((P)\).

\(B\). Đường thẳng \(d\) nằm trên \((Q)\) và \(d\) vuông góc với a thì d vuông góc với \((P)\).

C. Đường thẳng \(d\) vuông góc với a thì \(d\) vuông góc với \((P)\).

D. Đường thẳng \(d\) vuông góc với \((Q)\) thì \(d\) vuông góc với \((P)\).

Lời giải chi tiết

Đáp án B.

Bài 7.35 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Số đo của góc nhị diện [S, AB, C] bằng \(\widehat {SBC}\).

B. Số đo của góc nhị diện [D, SA, B] bằng \({90^o}\).

C. Số đo của góc nhị diện [S, AC, B] bằng \({90^o}\).

D. Số đo của góc nhị diện [D, SA, B] bằng \(\widehat {BSD}\).

Lời giải chi tiết

Đáp án C

Bài 7.36 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và \(SA \bot (ABCD)\).

Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng \((SAB)\).

B. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\).

D. Đường thẳng AD vuông góc với mặt phẳng \((SAB)\).

Lời giải chi tiết

Đáp án C.

Bài 7.37 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng , chiều cao bằng là:

A. .                     

B. .                  

C. .         

D. .

Lời giải chi tiết

Đáp án C

Bài 7.38 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và và . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

 

Ta có ,

, .

Trong (OBC) kẻ

,

.

.

Trong (OAD) kẻ

.

Xét tam giác OBC vuông tại O có:

.

Xét tam giác OAD vuông tại O có:

.

Vậy .

Bài 7.39 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại $A$, tam giác BCD cân tại . Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng .

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng .

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác ABC cân tại A có

I là trung điểm của BC

Xét tam giác ACD cân tại D có

I là trung điểm của BC

Ta có

b)

Trong (AID) có

c) Ta có

Mà

Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC

Bài 7.40 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và \(\widehat {CAB} = {30^o}\). Biết \(SA \bot (ABC)\) và \(SA = a\sqrt 2 \).

a) Chứng minh rằng \((SBC) \bot (SAB)\).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải chi tiết

 

a) \(SA \bot BC\) (vì \(\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\)) và \(AB \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Trong (SAC) kẻ \(AD \bot SC \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = AD\).

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(\sin \widehat {CAB} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{a}{{\sin {{30}^o}}} = 2a\).

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

\(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \)

\(= \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}}\)

\(\Rightarrow AD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Do đó \(d\left( {A,SC} \right) = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\), \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\).

Trong (SAB) kẻ \(AE \bot SB\).

\( \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE\).

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(\tan \widehat {CAB} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{a}{{\tan {{30}^o}}} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

\(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \)

\(= \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{5}{{6{a^2}}}\)

\(\Rightarrow AE = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\).

Bài 7.41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại và .

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Lời giải chi tiết

 

a) Trong (SAD) kẻ .

Mà

.

Xét tam giác SAD vuông cân tại S có:

E là trung điểm của AD

.

Diện tích hình vuông ABCD là .

Thể tích khối chóp là:

.

b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà , mà , .

.

Trong (SEF) kẻ

.

Ta có AD // BC nên AD // (SBC)

.

Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a.

Xét tam giác SEF vuông tại E có:

.

Vậy .

Bài 7.42 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài tất cả các cạnh bằng \(a,AA' \bot (ABCD)\) và \(\widehat {BAD} = {60^o}\).

a) Tính thể tích của khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\).

Lời giải chi tiết

 

a) Diện tích tam giác ABD bằng diện tích tam giác BCD vì chung đáy BD và chiều cao AO = OC (ABCD là hình thoi).

Diện tích tam giác ABD:

\({S_{ABD}} = \frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat {BAD} \)

\(= \frac{1}{2}a.a.\sin {60^o} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow S = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối hộp là:

\(V = AA'.{S_{ABCD}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

b) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\).

Ta có \(AA' \bot BD\), \(AO \bot BD \) \(\Rightarrow BD \bot \left( {A'AO} \right)\), \(BD \subset \left( {A'BD} \right) \) \(\Rightarrow \left( {A'AO} \right) \bot \left( {A'BD} \right)\).

\(\left( {A'AO} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'O\).

Trong (A’AO) kẻ \(AE \bot A'O \Rightarrow AE \bot \left( {A'BD} \right)\)

\(\Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AE\).

Xét tam giác ABD có AB = AD và \(\widehat {BAD} = {60^o}\) nên tam giác ABD đều

\( \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác AOA’ vuông tại A có

\(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} \)

\(= \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\)

\(\Rightarrow AE = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Bài 7.43 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ . Biết là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng . Tính theo thể tích của khối lăng trụ và thể tích của khối chóp .

Lời giải chi tiết

 

Gọi , mà A’.ABCD là hình chóp đều nên .

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

.

Xét tam giác A’AO vuông tại O có:

.

.

Vậy khối chóp có thể tích:

.

Nếu hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' xoay lại thành hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C thì thể tích không thay đổi do đó thể tích hình chóp A'.BB'C'C bằng 1/3 thể tích hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C vì chung đáy và chung chiều cao kẻ từ A’ xuống đáy BB’C’C.

Thể tích khối lăng trụ là:

.

Bài 7.44 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, $AB//CD$ và $AB=BC=DA=a$, . Biết hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Lời giải chi tiết

 

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Mà và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên .

Kẻ tại K .

Xét tam giác ADK vuông tại K có:

.

Xét tam giác AKC vuông tại K có:

.

Ta có AB // CD nên

.

Xét tam giác SAO vuông tại O có:

.

Diện tích đáy ABCD là:

.

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

.

Bài 7.45 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột AB có chiều dài bằng 10 m và tạo với mặt đất góc \({80^o}\). Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng BC của cây cột trên mặt đất dài 12 m và tạo với cây cột một góc bằng \({120^o}\) (tức là \(\widehat {ABC} = {120^o}\)). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.

Lời giải chi tiết

 

Góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên là \(\widehat {ACH}\).

Xét tam giác ABC có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC} \)

\(= {10^2} + {12^2} - 2.10.12.\cos {120^o} = 364\).

\(\Rightarrow AC = 2\sqrt {91} \) (m).

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt đất.

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

\(AH = 10.\sin {80^o}\).

Xét tam giác ACH vuông tại H có:

\(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{10\sin {{80}^o}}}{{2\sqrt {91} }}\)

\(\Rightarrow \widehat {ACH} \approx {31^o}\).

Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên khoảng 31⁰.