Bài 27. Thể tích Toán 11 Kết nối tri thức

Lý thuyết Thể tích - Toán 11 Kết nối tri thức

Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng.

- Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và đường cao h là \(V = \frac{1}{3}.h.S\).

- Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S, diện tích đáy bé S’ và chiều cao h là \(V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)\).

- Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là \(V = h.S\).

Nhận xét:

- Thể tích khối tứ diện bằng một phần ba tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối tứ diện ứng với mặt đó.

- Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp tương ứng với mặt đó.

Giải câu hỏi trang 61, 62, 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài 7.28 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.

Lời giải chi tiết

 

Vì hình chóp S.ABC đều, gọi G là hình chiếu của S trên (ABC) nên G là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó G cũng là trọng tâm hay trực tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D.

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Mà G là trọng tâm nên \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác SAG vuông tại G có:

\(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} \)

\(= \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \).

Diện tích tam giác đều ABC là:

${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích khối chóp đều là:

$V=\frac{1}{3}SG.{{S}_{\vartriangle ABC}}$

$=\frac{1}{3}.\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$

$=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}$.

Do đó thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a là:

\(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}.\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}}  = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Bài 7.29 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, \(\widehat {ABC} = {150^o}\). Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết

 

Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} \)

\(= \frac{1}{2}.6.2.\sin {150^o} = 3\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).

Thể tích khối lăng trụ là:

\(V = AA'.S = 5.3 = 15\) \(\left( {c{m^3}} \right)\).

Bài 7.30 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau.

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng .

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng .

Lời giải chi tiết

a)

 

Gọi mà S.ABCD đều nên .

O là hình chiếu của S trên (ABCD).

C là hình chiếu của C trên (ABCD).

OC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

(SC, (ABCD)) = (SC, OC) .

Mà cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng .

.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

.

.

Xét tam giác SOC vuông tại O có:

(cm).

.

Vậy khối chóp có thể tích:

b)

 

Trong (ABCD) kẻ .

.

, .

, , .

.

Mà mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng .

Ta có mà O là trung điểm AC nên OE là đường trung bình tam giác ACD.

(cm).

Xét tam giác SOE vuông tại O có:

(cm).

Vậy khối chóp có thể tích:

.

Bài 7.31 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết

 

Vì hình chóp A’.ABC có A'A = A'B = A'C và đáy ABC là tam giác đều nên hình chóp A’.ABC đều.

Gọi F là hình chiếu của A’ trên (ABC) nên F là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó F cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AF cắt BC tại D.

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Mà F là trọng tâm nên \(AF = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác A’AF vuông tại F có:

\(A'F = \sqrt {A'{A^2} - A{F^2}}\)

\(  = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \).

Diện tích tam giác đều ABC là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích khối lăng trụ là:

\(V = A'F.S = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Bài 7.32 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Lời giải chi tiết

a) AB // A’B’ AB // (A’B’C’D’), AD // A’D’ AD // (A’B’C’D’).

Do đó (ABCD) // (A’B’C’D’).

Chiếc thùng có dạng hình chóp cụt vì khi bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc của tấm tôn vuông, sẽ tạo thành bốn tam giác vuông cân.

Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Cạnh bên của hình chóp cụt bằng:

(dm).

c) Xét mặt chứa đường chéo của hình vuông, nó là hình thang cân có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp cụt và được (dm).

Thể tích cần tìm là V = 42 lít.