Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Toán 11 Kết nối tri thức

HĐ 1

Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Phương pháp giải:

Quan sát thực tế.

Lời giải chi tiết:

a) Vì mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà nên khi cánh cửa đóng, điểm A trên cánh cửa sẽ nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường sát sàn nhà. Khi mở cánh cửa, điểm A sẽ di chuyển theo đường thẳng song song với đường sát sàn nhà và vẫn giữ nguyên góc vuông với các đường thẳng đi qua B trên sàn nhà. Do đó, đường thẳng AB luôn vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Theo tính chất của góc phẳng, khi hai đường thẳng AB và BC vuông góc với một đường thẳng CD chung, thì AB cũng vuông góc với BC. Vì vậy, khi đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng đi qua điểm B trên sàn nhà, thì đường thẳng AB cũng vuông góc với mọi đường thẳng khác trên sàn nhà.

CH 1

Nếu đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

Phương pháp giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Nếu đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau.

HĐ 2

Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bia thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.

a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?

b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Phương pháp giải:

Thực hành thực tế theo yêu cầu đề bài.

Lời giải chi tiết:

a) Sau khi gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật, ta sẽ có hai hình chữ nhật MNAB; ABCD. Do đó, đường thẳng AB sẽ vuông góc với cạnh AN, AD của hai hình chữ nhật đó.

b) Để kiểm tra xem đường thẳng AB có vuông góc với đường thẳng a hay không, ta có thể sử dụng một ê-ke. Đặt một đầu ê-ke lên điểm A và đưa đầu kia đi dọc theo đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke không thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng a. Nếu đầu ê-ke thay đổi hướng khi di chuyển qua đường thẳng AB, tức là hai đường không vuông góc nhau.

CH 2

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại hay không?

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại.

LT 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO $\perp$ (ABCD).

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

+) Xét tam giác SAC có SA = SC $\Rightarrow$ SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến

$\Rightarrow$ SO $\perp$ AC.

Xét tam giác SBD có SB = SD $\Rightarrow$ SBD là tam giác cân mà SO là trung tuyến

$\Rightarrow$ SO $\perp$ BD.

+) Ta có SO $\perp$ AC; SO $\perp$ BD; AC $\cap$ BD tại O $\Rightarrow$ SO $\perp$ (ABCD).

VD

Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta coi hai thanh đế thẳng đặt dưới dàn nhà là 2 đường thẳng cắt nhau và sàn nhà là 1 mặt phẳng.

Vì hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó, hai thanh đế đó cắt nhau và nằm trên mặt phẳng là sàn nhà nên cột treo vuông góc với sàn nhà.

HĐ 3

Cho điểm O và đường thẳng $\Delta$ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với . Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với .

Phương pháp giải:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

.

.

Mà mp(a, b) đi qua O và vuông góc với .

HĐ 4

Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng  cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa  và (P).

Phương pháp giải:

- 2 mặt phẳng cắt nhau theo 1 giao tuyến là đường thẳng.

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Vì là các mặt phẳng qua O và giao 2 mặt phẳng là 1 đường thẳng nên hai mặt phẳng  cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Gọi là giao tuyến của 2 .

.

.

Mà .

LT 2

Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vì AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P) nên AB trùng AC

A, B, C thẳng hàng.

HĐ 5

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).

Phương pháp giải:

Cho a, b là 2 đường thẳng phân biệt, nếu đường thẳng b // b’ thì (a, b) = (a, b’).

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}a\perp \left(P\right)\\ m\subset \left(P\right)\end{array}\}\Rightarrow a\perp m\Rightarrow \left(a,m\right)={90}^o$.

a // b $\Rightarrow \left(a,m\right)=\left(b,m\right)={90}^0$ mà đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P).

$\Rightarrow$ b $\perp$ (P).

HĐ 6

Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b.

a) Hỏi c có vuông góc với (P) hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.

Phương pháp giải:

- Sử dụng kết quả của hoạt động 5 trang 34.

- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) b // c; b $\perp$ (P) $\Rightarrow$ c $\perp$ (P)

Mà a $\perp$ (P)

a, c cùng đi qua điểm O

$\Rightarrow$ a trùng c.

b) Ta có b // c mà a trùng c nên a // b.

HĐ 7

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng $\Delta$ vuông góc với (P). Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh ($\Delta$, b) và ($\Delta$, a). Từ đó rút ra mối quan hệ giữa $\Delta$ và (Q).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\Delta \perp \left(P\right)\\ a\subset \left(P\right)\end{array}\}\Rightarrow \Delta \perp a,a//b\Rightarrow \Delta \perp b\Rightarrow \left(\Delta ,b\right)={90}^o$.

$\Delta \perp a\Rightarrow \left(\Delta ,a\right)={90}^o$.

$\Rightarrow$ ($\Delta$, b) = ($\Delta$, a) mà b là đường thẳng bất kì thuộc (Q).

$\Rightarrow$ $\Delta \perp \left(Q\right)$.

HĐ 8

Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).

a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).

b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Phương pháp giải:

- Sử dụng kết quả của hoạt động 7 trang 35.

- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Lời giải chi tiết:

a) (R) // (Q); $\Delta$ $\perp$ (Q) $\Rightarrow$ $\Delta$ $\perp$ (R).

Mà $\Delta$ $\perp$ (P) và (R), (Q) là 2 mặt phẳng cùng đi qua O.

$\Rightarrow$ (R) trùng (P).

b) (R) // (Q) mà  (R) trùng (P) nên (P) // (Q).

LT 3

Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta coi chân bàn như đường thẳng và mặt bàn, mặt sàn là 2 mặt phẳng.

Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn nên hai mặt phẳng đó có song song với nhau vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

HĐ 9

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính ($\Delta$, a).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vì a // (P) nên a // b sao cho b $\subset$ (P).

$\Rightarrow (\Delta ,a)=(\Delta ,b)$.

Mà $\Delta \perp \left(P\right)$, $b\subset \left(P\right)$ nên $\Delta \perp b\Rightarrow (\Delta ,b)={90}^o$.

Vậy $(\Delta ,a)={90}^o$.

HĐ 10

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng $\Delta$.

a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a' song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).

b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) $\Delta \perp a,a//a^{\prime }\Rightarrow \Delta \perp a^{\prime }$.

$\Delta \perp a^{\prime },\Delta \perp \left(P\right)$ $\Rightarrow$ a' // (P) hoặc a' $\subset$ (P) mà điểm O thuộc (P) và đi qua a'

Vậy a' $\subset$ (P).

b) a' // a; a' $\subset$ (P) $\Rightarrow$ a // (P) hoặc a $\subset$ (P) vì a và (P) không phân biệt.

LT 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA $\perp$ (ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC $\perp$ (MBD) và AH // (MBD).

Phương pháp giải:

- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

- Trong 1 mặt phẳng có 2 đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì chúng song song.

- Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó song song với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}AC\perp BD\left(hvABCD\right)\\ SA\perp BD\left(SA\perp \left(ABCD\right)\right)\\ AC\cap SA=\left\{A\right\}\end{array}\}\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$.

$\begin{array}{c}BD\perp SC\left(BD\perp \left(SAC\right)\right)\\ BM\perp SC\\ BD\cap BM=\left\{B\right\}\end{array}\}\Rightarrow SC\perp \left(MBD\right)$.

Gọi $AC\cap BD=\left\{O\right\}$.

$\begin{array}{c}SC\perp \left(MBD\right)\\ OM\subset \left(MBD\right)\end{array}\}\Rightarrow SC\perp OM$.

Mà $AH\perp SC$.

$\Rightarrow AH//OM,OM\subset \left(MBD\right)\Rightarrow AH//\left(MBD\right)$.